Encontrar cada término de una sucesión aritmética

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Una secuencia aritmética es cualquier secuencia de números que, consecutivamente, difieren entre sí por un valor constante. Por ejemplo, la secuencia de números pares, $0, 2, 4, 6, 8$ $0.2,4,6,8$ … es una sucesión aritmética, porque la diferencia de un número de la sucesión con respecto al siguiente es siempre igual a dos. Si sabe que está tratando con una secuencia aritmética, se le puede pedir que determine el siguiente número en la secuencia. También se le puede pedir que complete un número que falta en la secuencia. Y eventualmente querrá saber cómo determinar el número 100 sin tener que escribir todos los cien números en el. Unos simples pasos pueden ayudarlo con cada una de estas tareas.

Pasos

Método 1 de 4: encontrar el siguiente número en una secuencia aritmética

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 1

1. Encuentre el factor de diferencia de la serie. Cuando se le presenta una colección de números, se puede decir que es una secuencia aritmética, o tendrá que inventar esto usted mismo. Al menos el primer paso es el mismo. Selecciona los dos primeros números consecutivos del conjunto. Resta el primer número del segundo número. El resultado es el factor diferencia de tu serie.

Por ejemplo, suponga que tiene la colección $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Hazlo entonces $4 - 1$ $4-1$ para obtener el factor de diferencia 3.
Suponga que tiene una colección de números descendentes, como $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Entonces todavía restas el primer número del segundo para encontrar la diferencia. En este caso, esto da $21 - 25 = - 4$ $21-25=-4$ . El resultado negativo significa que tu colección disminuye de izquierda a derecha. Siempre asegúrese de que el signo de la diferencia corresponda a la dirección en la que parecen ir los números.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 2

2. Comprobar si el factor de diferencia es constante. Determinar el factor de diferencia solo para los dos primeros números no garantiza que el conjunto sea una secuencia aritmética. Tienes que estar seguro de que la diferencia se mantiene constante a lo largo de la serie. Comprueba la diferencia restando dos números consecutivos en el conjunto. Si el resultado es consistente para uno o dos pares de números, probablemente estés tratando con una secuencia aritmética.

Seguimos trabajando con el mismo ejemplo,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ Elige el segundo y tercer número del conjunto. hacer

7 - 4

$7-4$ y verás que la diferencia sigue siendo igual a 3. Para confirmar esto, elija otro ejemplo y haga

13 - 10

$13-10$ para averiguar que la diferencia es constantemente 3. Ahora puede estar razonablemente seguro de que se trata de una sucesión aritmética.

Es posible que un conjunto de números parezca tener las propiedades de una secuencia aritmética basada en los primeros números y luego se desvíe de ellos. Por ejemplo, tome el conjunto

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... La diferencia entre el primer y el segundo número es 1 y la diferencia entre el segundo y el tercer número también es 1. Sin embargo, la diferencia entre el tercer y el cuarto número es 3. Dado que la diferencia no se cumple para todos los números del conjunto completo, esta no es una secuencia aritmética.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 3

3. Sumar el factor de diferencia al último número. Es fácil encontrar el siguiente número en una secuencia aritmética cuando conoces el factor de diferencia. Simplemente agregue el factor de diferencia al último último número del conjunto y obtendrá el siguiente número.

Por ejemplo, en el ejemplo de

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., puede determinar el siguiente número del conjunto sumando el factor de diferencia 3 al último número dado. hacer

13 + 3

$13+3$ y te sale 16 que es el siguiente numero. Puedes seguir sumando 3 para hacer la secuencia tan larga como quieras. Por ejemplo, la secuencia puede ser

1, 4, 7, 10, 13, dieciséis, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Puedes continuar con esto indefinidamente.

Método 2 de 4: busca un número que falta

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 4

1. Confirma que estás comenzando con una secuencia aritmética. En algunos casos, se trata de una colección de números a los que les falta un número en el medio. Como se mencionó anteriormente, comience por verificar que su colección sea una secuencia aritmética. Selecciona dos números consecutivos y encuentra la diferencia entre ellos. Luego verifique esto con otros dos números consecutivos en la secuencia. Si la diferencia es la misma, puedes asumir que estás tratando con una secuencia aritmética y puedes continuar.

Por ejemplo, suponga que tiene la secuencia $0, 4$ $0.4$ ,___, $12, dieciséis, 20$ $12,16,20$ ... Comience con la deducción $4 - 0$ $4-0$ y obtienes 4 como diferencia. Compáralo con otros dos números consecutivos, como $dieciséis - 12$ $16-12$ . La diferencia es de nuevo 4. Ahora puedes continuar.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 5

2. Agregue el factor de diferencia al número para el espacio vacío. Esto es equivalente a agregar un número al final de una secuencia. Encuentre el número inmediatamente antes del espacio vacío en su secuencia. Este es el `último` número conocido. Agregue la diferencia encontrada a este número y obtendrá el número que debe caber en el lugar de la incógnita.

En nuestro ejemplo,

0, 4

$0.4$ ,____,

12, dieciséis, 20

$12,16,20$ ..., la incógnita es igual a 4 y la diferencia de esta serie también es 4. Entonces esto se suma

4 + 4

$4+4$ y así obtienes 8, el número que se puede completar para la incógnita.

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3. Resta el factor de diferencia del número después de la incógnita. Para asegurarse de que encontró la respuesta correcta, verifique nuevamente desde la otra dirección. Una secuencia aritmética debe ir consistentemente en una dirección determinada. Si vas de izquierda a derecha y sigues sumando 4, puedes hacer lo contrario de derecha a izquierda y restar 4 al número anterior.

en el ejemplo,

0, 4

$0.4$ ,___,

12, dieciséis, 20

$12,16,20$ …, el número inmediatamente después de la incógnita es igual a 12. Resta el factor de diferencia 4 de este número y obtienes

12 - 4 = 8

$12-4=8$ . El resultado 8 se puede completar con la incógnita.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 7

4. Compara tus resultados. Los dos resultados que obtiene al sumar (de izquierda a derecha) o restar (de derecha a izquierda) deben coincidir. Si es así, entonces has encontrado el número que falta. Si no coinciden, debe verificar su trabajo nuevamente. Quizás no estés tratando con una secuencia aritmética pura.

En el ejemplo, los dos resultados de

4 + 4

$4+4$ y

12 - 4

$12-4$ ambos responden 8. Entonces el número que falta en esta secuencia aritmética es 8. La serie completa es

0, 4, 8, 12, dieciséis, 20

$0.4,8,12,16,20$ ...

Método 3 de 4: determinar un término arbitrario de una sucesión aritmética

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 8

1. Encuentra el primer número de la serie. No todas las secuencias comienzan con los números 0 o 1. Mira el conjunto de números que tienes y encuentra el primer número. Este es su punto de partida, que se puede identificar con variables, como a(1).

Es una práctica común que las sucesiones aritméticas trabajen con la variable a(1), que representa el primer número de la sucesión. Por supuesto, puede elegir cualquier variable, pero el resultado debe ser el mismo.
Por ejemplo, dada la serie $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ …, es el primer número $3$ $3$ , que se puede denotar matemáticamente como a(1).

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 9

2. Determine el factor de diferencia como d. Determine el factor de diferencia para la serie como se indica arriba. En este ejemplo, el factor de diferencia es igual a

8 - 3

$8-3$ , y por lo tanto 5. Al comparar con los otros números en la secuencia, se obtiene el mismo resultado. Denotamos este factor de diferencia con la variable matemática d.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 10

3. Utilice la fórmula explícita. Una fórmula explícita es una ecuación matemática que puede usar para encontrar cualquier número en una secuencia aritmética sin tener que escribir toda la secuencia. La fórmula explícita para una sucesión matemática es

a (norte) = a (1) + (norte - 1) D

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ .

El número a(n) se puede leer como "el enésimo número de a", donde n es el número en la secuencia que desea encontrar y a(n) es el valor real de ese número. Por ejemplo, si se le pide que encuentre el centésimo elemento de una secuencia aritmética, n es igual a 100. Tenga en cuenta que n es igual a 100, en este ejemplo, pero a(n) es el valor del número centésimo, no el número 100 en sí.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 11

4. Completa todos los detalles para resolver el problema. Usando esta fórmula explícita para su secuencia, complete todos los datos que tiene a su disposición para determinar el número que necesita.

Por ejemplo, en este ejemplo,

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ …, sabemos que a(1), el primer número, es igual a 3 y que el factor diferencia d es igual a 5. Supongamos que se le pide que encuentre el centésimo número en esa secuencia. Entonces n=100 y (n-1)=99. La fórmula explícita completa, con los datos ingresados, es entonces

a (100) = 3 + (99) (5)

$a(100)=3+(99)(5)$ . Esto se puede simplificar a 498, el centésimo número de esa serie.

Método 4 de 4: use la fórmula explícita para obtener más datos

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 12

1. Reorganizar la fórmula explícita para encontrar otras variables. Use la fórmula explícita y algo de álgebra simple para encontrar varias piezas de información sobre la secuencia aritmética. En su forma original (

a (norte) = a (1) + (norte - 1) D

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ ), es la fórmula explícita diseñada para resolver un_norte y te da el enésimo número de la serie. Sin embargo, puede manipular esta fórmula matemáticamente para resolver otras variables también.

Por ejemplo, suponga que conoce el final de una secuencia de números, pero le gustaría saber el comienzo de la secuencia. Luego reordena la fórmula para obtener $a (1) = (norte - 1) D - a (norte) .$ $a(1)=(n-1)d-a(n)$
Si conoce el punto de inicio y el punto final de una secuencia aritmética, pero quiere saber cuántos números hay en el conjunto, puede usar la fórmula explícita para resolver n. Esto entonces se convierte $norte = a (norte) - a (1) D + 1$ $n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
Si primero quiere repasar las reglas básicas de álgebra que necesita para poder calcular esto, lea más sobre álgebra o ecuaciones algebraicas simples.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 13

2. Encuentra el primer número de una serie. Es posible que sepa que el número 50 en una secuencia aritmética es igual a 300 y que los números aumentan en 7 (el factor de diferencia), pero le gustaría saber cuál fue el primer número de la secuencia. Use la fórmula explícita modificada para resolver a1 para encontrar su respuesta.

Usa la ecuación

a (1) = (norte - 1) D - a (norte)

$a(1)=(n-1)d-a(n)$ y rellena todos los datos que tengas. Como sabe que el número 50 es 300, también sabe que n=50, n-1=49 y a(n)=300. Además, también se da el factor de diferencia d, que es 7. Entonces la fórmula se convierte en

a (1) = (49) (7) - 300

$a(1)=(49)(7)-300$ . esto se esta resolviendo

343 - 300 = 43

$343-300=43$ . La secuencia que ha comenzado en 43 y tiene un factor de diferencia de 7. Entonces la secuencia se ve como 43,50,57,64,71,78…293,300.

Imagen titulada Encuentra cualquier término de una secuencia aritmética Paso 14

3. Determinar la longitud de una secuencia. Suponga que sabe cómo comienza y termina la secuencia, pero necesita averiguar cuánto dura la secuencia. Luego usa la fórmula modificada

norte = a (norte) - a (1) D + 1

$n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .

Suponga que sabe que una secuencia aritmética dada comienza con 100 y suma 13. Además, también se da que el último número es 2856. Para encontrar la longitud de la secuencia, usa los números a1=100, d=13 y a(n)=2856. Aplique estos números a la fórmula para obtener

norte = 2856 - 100 13 + 1

$n={frac{2856-100}{13}}+1$ . Una vez que haya resuelto esto, obtendrá

norte = \frac{2756}{13} + 1

$n={frac{2756}{13}}+1$ , que es igual a 212+1, que es de nuevo 213. Hay 213 números en esa secuencia.

Este ejemplo parece 100, 113, 126, 139… 2843, 2856.

Advertencias

Hay diferentes tipos de secuencias de números. No asuma que un conjunto de números es una secuencia aritmética. Siempre verifique dos pares de números, preferiblemente tres o cuatro, para encontrar el factor de diferencia para el conjunto de números.