Calcular factoriales

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El factorial se usa comúnmente para calcular la probabilidad y las permutaciones, o la posible secuencia de eventos. El factorial se indica con un signo de exclamación ( $!$ ${ estilo de visualización!}$ ), lo que significa que multiplicas todos los números en orden descendente desde el número factorial. Una vez que entiendes qué es un factorial, es fácil de calcular, especialmente con la ayuda de una calculadora científica.

Pasos

Método 1 de 3: calcular el factorial de un número

1. Determine el número para el que calcula el factorial. Un factorial se indica con un número entero positivo y un signo de exclamación.

Supongamos que desea calcular el factorial de cinco, lo escribe como $5!$ ${ estilo de visualización 5!}$ .

2. Escribe la secuencia de números que vas a multiplicar. Un factorial es simplemente multiplicar los números naturales en orden descendente desde el número del factorial, hasta 1. Como fórmula:

norte! = norte (norte - 1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle n!=n(n-1)cdot cdot cdot 2cdot 1}$ , por lo cual

norte

$norte$ es igual a un entero positivo.

Por ejemplo, si usted

5!

${ estilo de visualización 5!}$ Si quieres calcular, primero haz

5 (5 - 1) (5 - 2) (5 - 3) (5 - 4)

${ estilo de visualización 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4)}$ o, más simplemente:

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$ .

3. Multiplicar los números juntos. Puedes calcular rápidamente el factorial con una calculadora científica, porque tiene un

X!

${ estilo de visualización x!}$ mando. Si desea calcular esto a mano, puede simplificarlo buscando primero los pares de factores que multiplicados juntos dan como resultado 10. Por supuesto que puedes ignorar el 1, porque un número por 1 es igual al número mismo.

Por ejemplo: si tu

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 5!=5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$ calcula, luego ignora el 1 y calcula

5 \cdot 2 = 10

${displaystyle 5cdot 2=10}$ . Todo lo que queda ahora es

4 \cdot 3 = 12

${displaystyle 4cdot 3=12}$ . Porque

10 \cdot 12 = 120

${displaystyle 10cdot 12=120}$ , Lo sabías

5! = 120

${ estilo de visualización 5! = 120}$ .

Método 2 de 3: simplificar un factorial

1. Determina qué expresión simplificar. A menudo esto es una fracción.

Supongamos, por ejemplo, que Ud $7! 5! \cdot 4!$ ${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ debería simplificar.

2. Escribe los factores de cada factorial. porque la facultad

norte!

${ estilo de visualización n!}$ es un factor de un factorial mayor, para simplificar esto tienes que fijarte en los factores que puedes tachar. Esto es fácil si escribes cada término.

Por ejemplo: si tu

7! 5! \cdot 4!

${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ Si desea simplificar, reescriba esto como

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)

${displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5)cdot (1cdot 2 cdot 3cdot 4)}}}$

3. Elimina todos los términos que aparecen tanto en el numerador como en el denominador. Esto simplificará los números que sobran para multiplicar.

Por ejemplo: porque

5!

${ estilo de visualización 5!}$ es un factor de

7!

${ estilo de visualización 7!}$ , puedes

5!

${ estilo de visualización 5!}$ eliminar del numerador y denominador:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) = 6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)

${displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}}cdot 6cdot 7}{({cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4 cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}$

4. Completa los cálculos. Simplificar donde sea posible. Esto le dará la expresión final simplificada.

Por ejemplo:

6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)

${displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}$

= \frac{42}{24}

${displaystyle ={frac{42}{24}}}$

= \frac{7}{4}

${displaystyle ={frac {7}{4}}}$
Entonces,

7! 5! \cdot 4!

${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ se simplifica

\frac{7}{4}

${displaystyle {frac{7}{4}}}$ .

Método 3 de 3: hacer ejercicios simples

1. Mira la expresión 8!.

Si tiene una calculadora científica, presione la tecla $8$ ${ estilo de visualización 8}$ , seguido de la clave $X!$ ${ estilo de visualización x!}$ .
Si se calcula a mano, anote los factores a multiplicar entre sí:
$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ ${displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$
Ignora el 1:
$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ ${displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}$
calcular $5 \cdot 2$ ${displaystyle 5cdot 2}$ :
$(5 \cdot 2) 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3$ ${displaystyle (5cdot 2)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}$
$= (10) 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3$ ${displaystyle =(10)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}$
Primero agrupe todos los demás números que se pueden multiplicar fácilmente, luego multiplique todos los productos:
$(10) (4 \cdot 3) (7 \cdot 6) (8)$ ${displaystyle (10)(4cdot 3)(7cdot 6)(8)}$
$= (10) (12) (42) (8)$ ${ estilo de visualización = (10) (12) (42) (8)}$
$= (120) (336)$ ${ estilo de visualización = (120) (336)}$
$= 40320$ ${ estilo de visualización = 40320}$
entonces, $8! = 40, 320$ ${ estilo de visualización 8! = 40,320}$ .

2. Simplifica la expresión:

12! 6! 3!

${displaystyle {frac{12!}{6!3!}}}$ .

Escribe los factores de cada factorial:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6) (1 \cdot 2 \cdot 3)

${displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6)(1cdot 2cdot 3)}}}$

Elimina los términos que aparecen tanto en el numerador como en el denominador:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6) (1 \cdot 2 \cdot 3) = 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 1 \cdot 2 \cdot 3

${displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot}}7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{( {cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}={frac {7cdot 8cdot 9cdot 10 cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}$

Completa los cálculos:

7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 1 \cdot 2 \cdot 3

${displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}$

= 665, 280 6

${displaystyle ={frac{665,280}{6}}}$

= 110, 880

${ estilo de visualización = 110,880}$
Entonces la expresión

12! 6! 3!

${displaystyle {frac{12!}{6!3!}}}$ se simplifica a

110, 880

${ estilo de visualización 110.880}$ .

3. Pruebe la siguiente tarea. Tienes seis cuadros que te gustaría colgar uno al lado del otro en la pared. ¿De cuántas maneras puedes colgar las pinturas??

Como está buscando la cantidad de formas diferentes de ordenar una secuencia, puede resolver esto encontrando el factorial de la cantidad de objetos en la secuencia.

El número de formas posibles de colgar los seis cuadros en fila se puede resolver haciendo

6!

${ estilo de visualización 6!}$ calcular.

En una calculadora científica, presione la tecla

6

$6$ , seguido de la clave

X!

${ estilo de visualización x!}$ .

Si está resolviendo esto a mano, anote los factores que se multiplicarán:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$

Ignora el 1:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}$

calcular

5 \cdot 2

${displaystyle 5cdot 2}$ :

(5 \cdot 2) 6 \cdot 4 \cdot 3

${displaystyle (5cdot 2)6cdot 4cdot 3}$

= (10) 6 \cdot 4 \cdot 3

${displaystyle =(10)6cdot 4cdot 3}$

Primero, agrupe los otros números fáciles de multiplicar y luego multiplique todos los productos:

(10) (4 \cdot 3) (6)

${ estilo de visualización (10) (4 cdot 3) (6)}$

= (10) (12) (6)

${ estilo de visualización = (10) (12) (6)}$

= (120) (6)

${ estilo de visualización = (120) (6)}$

= 720

${ estilo de visualización = 720}$
Entonces, si cuelgas seis cuadros seguidos uno al lado del otro, puedes hacerlo de 720 maneras diferentes.

4. Pruebe la siguiente tarea. Tienes seis cuadros. Quieres colgar tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes puedes organizar tres de las pinturas??

Como tienes seis pinturas diferentes, pero solo eliges tres, solo necesitas multiplicar los tres primeros números de la secuencia para calcular el factorial de seis. También puedes usar la fórmula

norte! (norte - r)!

${displaystyle {frac {n!}{(n-r)!}}}$ uso, donde

norte

$norte$ es igual al número de objetos que eliges, y

r

$r$ es igual al número de objetos que usas. Esta fórmula solo funciona si no hay iteraciones (un objeto no se puede elegir más de una vez) y el orden no importa (porque desea controlar la cantidad de formas diferentes en que se pueden ordenar las cosas).

El número de formas posibles de arreglar y colgar tres de seis pinturas en una fila se puede encontrar por

6! (6 - 3)!

${displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}$ resolver.

Resta los números en el denominador:

6! (6 - 3)!

${displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}$

= 6! 3!

${displaystyle ={frac {6!}{3!}}}$

Escribe los factores de cada factorial:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{3cdot 2cdot 1}}}$

Elimina los términos que aparecen tanto en el numerador como en el denominador:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot {cancel {3cdot 2cdot 1}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}$

Completa los cálculos:

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

${displaystyle 6cdot 5cdot 4=120}$
Así, tres de un total de seis cuadros se pueden colgar en fila de 120 formas diferentes.

Consejos

1! =1, según la definición
Aunque parezca un poco ilógico, puedes asumir que 0! = 1, a menos que se indique lo contrario
La facultad se usa para resolver problemas combinatorios, así que practica esta habilidad
No olvides revisar tu trabajo