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En nuestro ejemplo tomamos las raíces cuadradas de 25 y 16. Vea abajo: Cuadrado(25×16) Raíz cuadrada(25) × Raíz cuadrada(16) 5 × 4 = 20 
Tomemos como ejemplo la raíz cuadrada de 147. 147 no es el producto de dos cuadrados perfectos, por lo que no podemos obtener un buen valor entero. Pero es el producto de un cuadrado perfecto y otro número - 49 y 3. Podemos usar esta información para escribir nuestra respuesta en los términos más simples: sqrt(147) = Raíz cuadrada (49 × 3) = Raíz cuadrada (49) × Raíz cuadrada (3) = 7 × Raíz cuadrada(3) 
Volvamos a nuestro ejemplo. Como 2 = 4 y 1 = 1, sabemos que Sqrt(3) está entre 1 y 2, probablemente más cerca de 2 que de 1. Estimamos que 1.7. 7 × 1,7 = 11.9. Verificando esto con la calculadora, vemos que estamos bastante cerca de la respuesta: 12.13. Esto también funciona para los números más grandes. Por ejemplo, Sqrt(35) está aproximadamente entre 5 y 6 (probablemente más cerca de 6). 5 = 25 y 6 = 36. 35 está entre 25 y 36, por lo que la raíz cuadrada estará entre 5 y 6. Como 35 está justo debajo de 36, podemos decir con cierta seguridad que su raíz cuadrada sólo es inferior a 6. Verificar con una calculadora nos da una respuesta de aproximadamente 5,92: teníamos razón. 
Un ejemplo: determinamos la raíz cuadrada de 45 usando este método. Sabemos que 45 = 9 × 5 y que 9 = 3 × 3. Entonces podemos escribir la raíz cuadrada así: Sqrt(3 × 3 × 5). Simplemente elimine los 3 y coloque un 3 fuera del radical para obtener una raíz cuadrada simplificada: (3)Sqrt(5). Ahora puedes estimar fácilmente. Un último ejemplo; determinamos la raíz cuadrada de 88: sqrt(88) = Raíz cuadrada (2 × 44) = Raíz cuadrada(2 × 4 × 11) = Raíz cuadrada(2 × 2 × 2 × 11). Tenemos varios 2 en nuestra raíz cuadrada. Como 2 es primo, podemos eliminar un par y colocar un 2 fuera de la raíz cuadrada. = Nuestra raíz cuadrada en términos más simples es (2) Sqrt (2 × 11) o (2) Raíz cuadrada (2) Raíz cuadrada (11). Ahora podemos acercarnos a Sqrt(2) y Sqrt(11) y encontrar una respuesta estimada, si quisiéramos. 
En nuestro ejemplo, el dígito más a la izquierda es el número 7. Porque sabemos que 2 = 4 7 < 3 = 9, podemos decir que n = 2 porque es el entero mayor cuyo cuadrado es menor o igual a 7. Escriba 2 en el cuadrante superior derecho. Este es el primer dígito de la respuesta. Escribe 4 (el cuadrado de 2) en el cuadrante inferior derecho. Este número es importante para el siguiente paso. 
En nuestro ejemplo, escribimos un 4 debajo de 7 y lo restamos. Esto da 3 como respuesta. 
En nuestro ejemplo, el siguiente número es "80". Nota "80" al lado del 3 en el cuadrante izquierdo. Luego multiplica el número de arriba a la derecha por 2. Este número es 2, entonces 2 × 2 = 4. Nota "`4"` en la parte inferior derecha, seguido de _×_=. 
En nuestro ejemplo, completamos 8, y esto da 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Esto es mayor que 380. Así que 8 es demasiado grande, pero 7 probablemente no lo sea. Completa 7 y resuelve: 4(7) × 7 = 329. 7 es bueno porque 329 es más pequeño que 380. Nota 7 en la parte superior derecha. Este es el segundo dígito de la raíz cuadrada de 780,14. 
En nuestro ejemplo, restamos 329 de 380, y esto da 51 como resultado. 
En nuestra respuesta ahora escribimos una coma porque también encontramos esto en 780.14. Mueva el siguiente par (14) hacia abajo en el cuadrante izquierdo. 27 x 2 = 54, entonces escribimos "54 _×_=" en el cuadrante inferior derecho. 
En nuestro ejemplo, 549 × 9 = 4941, que es menor o igual que el número de la izquierda (5114). 549 × 10 = 5490, que es demasiado alto, por lo que 9 es nuestra respuesta. Escribe 9 como el siguiente número en la parte superior derecha y resta el resultado de la multiplicación del número de la izquierda: 5114 -4941 = 173. 
Calcular la raíz cuadrada de un número sin calculadora
Contenido
Antes de la llegada de las calculadoras, tanto los estudiantes como los profesores tenían que calcular raíces cuadradas con lápiz y papel. Se han desarrollado varias técnicas en ese momento para hacer frente a esta tarea a veces pesada, algunas dan una estimación aproximada y otras calculan el valor exacto. Siga leyendo para aprender a encontrar la raíz cuadrada de un número en unos sencillos pasos.
Pasos
Método 1 de 2: Enraizamiento con factores primos
1. Divide tu número en cuadrados. Este método utiliza los factores de un número para encontrar la raíz cuadrada de un número (según el número, puede ser una respuesta exacta o una estimación). El factores de un número dado son una secuencia aleatoria de números multiplicados entre sí para formar ese número en particular. Por ejemplo, puedes decir que los factores de 8 son 2 y 4 porque 2 × 4 = 8. Los cuadrados perfectos, por otro lado, son números enteros que son el producto de otros números enteros. Por ejemplo: 25, 36 y 49 son cuadrados perfectos porque son iguales a 5, 6 y 7 respectivamente. Los segundos factores de potencia son, como habrás entendido, factores que también son cuadrados perfectos. Para encontrar una raíz cuadrada usando factores primos, primero intenta dividir el número en sus factores cúbicos.
- Tome el siguiente ejemplo. Vamos a encontrar la raíz cuadrada de 400. Para empezar, dividimos el número en cuadrados. Como 400 es un múltiplo de 100, sabemos que es divisible por 25, un cuadrado perfecto. La memorización rápida nos dice que 400 / 25 = 16. 16 también pasa a ser un cuadrado perfecto. Entonces los factores cuadráticos de 400 son 25 y 16 porque 25 × 16 = 400.
- Escribimos esto como: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
2. Saca las raíces cuadradas de tus raíces cuadradas. La regla del producto de raíces cuadradas establece que para cualquier número dado a y B, Raíz cuadrada (a × b) = Raíz cuadrada (a) × Raíz cuadrada (b). Debido a esta propiedad, ahora podemos tomar las raíces cuadradas de los factores cúbicos y multiplicarlos para obtener la respuesta.
3. Si su número no se puede factorizar perfectamente, simplifíquelo. En realidad, los números cuyas raíces cuadradas quieres encontrar no serán buenos números redondeados con buenas raíces cuadradas como 400. En estos casos, puede que no sea posible obtener un número entero como respuesta. En cambio, usando todos los cubos que pueda encontrar, puede determinar la respuesta como una raíz cuadrada más pequeña y fácil de usar. Haces esto reduciendo el número a una combinación de factores cúbicos y otros factores, y luego simplificándolo.
4. Simplificar, si es necesario. Usando la raíz cuadrada en los términos más simples, por lo general es bastante fácil obtener una estimación aproximada de la respuesta estimando las raíces cuadradas restantes y multiplicándolas. Una forma de mejorar tus conjeturas es encontrar los cuadrados perfectos a cada lado del número en tu raíz cuadrada. Sabes que el valor decimal del número en tu raíz cuadrada está en algún lugar entre estos dos números, por lo que tu suposición también debería estar entre estos números.
5. Alternativamente, como primer paso, puede simplificar el número a laminimo común multiplo. La búsqueda de factores cuadrados no es necesaria si puedes encontrar fácilmente los factores primos de un número (factores que también son primos al mismo tiempo). Escribe el número en términos de mínimos comunes múltiplos. Luego busque entre sus factores los pares correspondientes de números primos. Si encuentra dos factores primos que coinciden, sáquelos de la raíz cuadrada y póngalos a de estos números fuera del radical.
Método 2 de 2: hallar raíces cuadradas sin calculadora
Con una división larga
1. Divide los dígitos de tu número en pares. Este método es similar a la división larga, que le permite exacto hallar la raiz cuadrada de un numero digito a digito. Si bien no es esencial, dividir un número en partes viables puede facilitar la resolución, especialmente si es largo. Primero dibuje una línea vertical que divida el área de trabajo en 2 áreas, luego una línea más corta cerca de la parte superior del área derecha, dividiéndola en una parte superior más pequeña y una parte más grande debajo. Luego divide el número en pares de números, comenzando desde el punto decimal. De acuerdo con esta regla, 79520789182.47897 se vuelve igual a "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Escriba este número en el área superior izquierda.
- Como ejemplo, calculemos la raíz cuadrada de 780.14. Divida su espacio de trabajo como se indica arriba y anote "7 80, 14" en la esquina superior izquierda. Está bien si solo hay un número en el extremo izquierdo, en lugar de dos. Luego escribe la respuesta (la raíz cuadrada de 780.14) en la parte superior del área derecha.
2. Encuentre el entero más grande norte cuyo cuadrado es menor o igual que el dígito o número más a la izquierda. Encuentra el cuadrado más grande que es menor o igual a este número, luego encuentra la raíz cuadrada de este cuadrado. este numero es norte. Tenga en cuenta que en el área superior derecha y escriba el cuadrado de n en el cuadrante inferior de esa área.
3. Resta el número que calculaste del dígito o número más a la izquierda. Al igual que con la división larga, el siguiente paso es restar el cuadrado del número que acabamos de usar para calcular. Escriba este número debajo del número más a la izquierda y réstelos entre sí. Escribe la respuesta a continuación.
4. Mover el siguiente número hacia abajo. Coloque esto junto al valor que encontró en la edición anterior. Multiplica el número de arriba a la derecha por dos y escríbelo abajo a la derecha. Guarda espacio al lado del número que acabas de escribir para la suma de la multiplicación que harás en el siguiente paso. Escriba aqui `"_×_="`.
5. Ingrese los números a la derecha. En el espacio vacío de la suma (a la derecha), ingrese el número entero más grande que hará que el resultado de la suma de la multiplicación a la derecha sea menor o igual al número actual a la izquierda.
6. Resta el número que acabas de calcular del número actual a la izquierda. Entonces restas el resultado de la multiplicación a la derecha de la respuesta actual a la izquierda. Escriba su respuesta directamente debajo.
7. Repita el paso 4. Mueva el siguiente par de números de 780.14 hacia abajo. Si llegas a una coma, escribe esa coma en la respuesta de la derecha. Luego multiplica el número en la parte superior derecha por 2 y escribe la respuesta al lado de ("_ × _") como anteriormente.
8. Repita los pasos 5 y 6. Encuentre el número más grande que da una respuesta menor o igual que el número actual a la izquierda. Resolver.
9. Para que el resultado sea exacto, repite el procedimiento anterior hasta encontrar la respuesta con el número de decimales (centésimas, milésimas) que necesitas.
Entender el procedimiento
- Tenga en cuenta que si divide 88962 por 7 usando la división larga, el primer paso es el mismo: está tratando con el primer dígito de 88962 (8) y quiere que el dígito más grande multiplicado por 7 sea menor o igual a 8. Esencialmente tu decides D de modo que 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). En este caso d es igual a 1.
- En nuestro ejemplo (10A+B)² = L = S = 100A² + 2×10A×B + B². Recuerda que 10A+B representa nuestra respuesta L junto con B en la posición de las unidades y A en la posición de las decenas. Por ejemplo, si A=1 y B=2, entonces 10A+B es el número 12. (10A+B)² es el área de todo el cuadrado, mientras que 100A² es el área del cuadrado interior más grande, B² es el área del mínimo cuadrado y 10A×B es el área de cada uno de los rectángulos restantes. Mediante este largo y complicado procedimiento podemos hallar el área de todo el cuadrado sumando las áreas de los cuadrados y rectángulos que lo forman.
1. Considere el número cuya raíz cuadrada desea calcular como el área S de un cuadrado. Dado que el área de un cuadrado es L, donde L es la longitud de uno de sus lados, al sacar la raíz cuadrada de tu número, intentas calcular la longitud L del lado de ese cuadrado.
2. Asigne una letra a cada dígito de su respuesta. Da la variable A como el primer dígito de L (la raíz cuadrada que estamos tratando de calcular). B es el segundo dígito, C es el tercero, y así sucesivamente.
3. Dar una letra a cada uno "par de numeros" del número con el que empiezas. Dar la variable Sa al primer par de dígitos en S (el valor inicial), SB al segundo par de dígitos, etc.
4. Comprender la relación entre este método y la división larga. Este método de encontrar una raíz cuadrada es esencialmente una división larga, dividiendo el valor inicial por su raíz cuadrada y tomando la raíz cuadrada como la respuesta "dato". Al igual que con la división larga, donde solo está interesado en el siguiente dígito a la vez, solo le interesan los siguientes dos dígitos a la vez (que corresponden al siguiente dígito de la raíz cuadrada).
5. Encuentre el número más grande cuyo cuadrado sea menor o igual que Sa es. El primer dígito A en nuestra respuesta es entonces el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que Sa (A tal que A² ≤ Sa < (A+1)²). En nuestro ejemplo, S. esa = 7, y 2² ≤ 7 < 3², entonces A = 2.
6. Visualiza el cuadrado del que quieres encontrar el área. Su respuesta, la raíz cuadrada del valor inicial, es L, que describe la longitud de un cuadrado de área S (el valor inicial). Los valores para A, B y C representan los números en el valor L. Otra forma de decir esto es que para una respuesta de 2 dígitos, 10A + B = L, y para una respuesta de 3 dígitos, 100A +10B + C = L, y así sucesivamente.
7. Restar A² de Sa. Trae un par de números (SB) hacia abajo desde el número S. sa sB es casi el área total del cuadrado, de la cual acabas de restar el área del cuadrado interior más grande. El resto es decir el número N1, que obtuvimos en el paso 4 (N1 =380 en nuestro ejemplo). N1 es igual a 2×10A×B+B² (el área de los 2 rectángulos más el área del cuadrado pequeño).
8. Mira N1 = 2×10A×B + B², también escrito como N1 = (2×10A + B) × B. En nuestro ejemplo, ya conoce N1 (380) y A (2), por lo que ahora necesita encontrar B. B probablemente no sea un número entero, por lo que necesita Realmente encuentre el entero más grande B, tal que (2×10A + B) × B ≤ N1. Así que ahora tienes: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
9. Resuelve la ecuación. Para resolver esta ecuación, multiplica A por 2, transfiérela a las decenas (multiplica por 10), coloca B en las unidades y multiplica el resultado por B. En otras palabras, (2×10A + B) × B. Esto es exactamente lo que haces cuando escribes "N_×_=" (con N=2×A) en el cuadrante inferior derecho en el paso 4. En el paso 5, determina el entero más grande B que cabe debajo de la línea, tal que (2×10A + B) × B ≤ N1.
10. Resta el área (2×10A + B) × B del área total. Esto produce el área S-(10A+B)² que aún no has tenido en cuenta (y que usas para calcular los siguientes números de la misma manera).
11. Para calcular el siguiente dígito C, repita el procedimiento. Mueva el siguiente par de números de S hacia abajo (SC) para obtener N2 a la izquierda y busque la C más grande para que ahora tenga: (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (igual al doble del número de dos dígitos "un b" seguido por "_×_=" . Ahora determine el número más grande que puede ingresar aquí, lo que le dará una respuesta que es menor o igual a N2.
Consejos
- Mover el punto decimal dos lugares (un factor de 100) mueve el punto decimal en la raíz cuadrada correspondiente un lugar (un factor de 10).
- En el ejemplo, 1,73 se puede considerar como "descansar": 780,14 = 27,9² + 1,73.
- Este método funciona para cualquier sistema numérico, no solo para el sistema decimal (diez decimales).
- Siéntete libre de poner los cálculos donde quieras. Algunas personas lo escriben encima del número que quieren calcular la raíz cuadrada de.
- Un método alternativo es el siguiente: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))). Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 780.14, tomaría el número entero al cuadrado más cercano a 780.14 (28), entonces =780.14, x=28 y y=-3.86. Rellenar y estimar nos da x + y/(2x) y esto da (términos simplificados) 78207/2800 o alrededor de 27,931(1); el siguiente término, 4374188/156607 o alrededor de 27.930986(5). Cada término suma aproximadamente 3 decimales de precisión al anterior.
Advertencias
- Asegúrate de dividir el número en pares comenzando desde el punto decimal. Dividiendo 79520789182.47897 como "79 52 07 89 18 2.4 78 97" da un resultado que no es correcto.
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