Hallar la derivada de la raíz cuadrada de x

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Pasos

Si tomaste matemáticas en la escuela, debes haber aprendido la regla de la potencia para determinar la derivada de funciones simples. Sin embargo, cuando la función contiene una raíz cuadrada o un radical, como $\sqrt{X}$ ${ sqrt {x}}$ , entonces la regla del poder parece difícil de aplicar. Usando una simple sustitución de exponentes, determinar la derivada de tal función se vuelve muy fácil. Luego puede aplicar la misma sustitución y usar la regla de la cadena para encontrar la derivada de muchas otras funciones con raíces.

Pasos

Método 1 de 3: aplicar la regla de la potencia

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 1

1. Echa otro vistazo a la regla de la potencia para derivadas. La primera regla que probablemente aprendiste para encontrar derivadas es la regla de la potencia. Esta regla dice que para una variable

X

$X$ a la potencia de un numero

a

$a$ , es la derivada, y se calcula de la siguiente manera:

$F (X) = X a$ ${displaystyle f(x)=x^{a}}$
$F sexo (X) = a X^{a - 1}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=ax^{a-1}}$
Eche un vistazo a las siguientes funciones de ejemplo y sus derivadas:

Si $F (X) = X 2$ ${ estilo de visualización f (x) = x ^ {2}}$ , entonces $F sexo (X) = 2 X$ ${ estilo de visualización f ^ { principal} (x) = 2x}$
Si $F (X) = 3 X 2$ ${ estilo de visualización f (x) = 3x ^ {2}}$ , entonces $F sexo (X) = 2 * 3 X = 6 X$ ${ estilo de visualización f ^ { principal} (x) = 2 * 3x = 6x}$
Si $F (X) = X 3$ ${ estilo de visualización f (x) = x ^ {3}}$ , entonces $F sexo (X) = 3 X^{2}$ ${ estilo de visualización f ^ { principal} (x) = 3x ^ {2}}$
Si $F (X) = \frac{1}{2} X^{4}$ ${displaystyle f(x)={frac {1}{2}}x^{4}}$ , entonces $F sexo (X) = 4 * \frac{1}{2} X^{3} = 2 X^{3}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=4*{frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}$

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 2

2. Reescribe la raíz cuadrada como exponente. Para encontrar la derivada de una función de raíz cuadrada, recuerda que la raíz cuadrada de un número o variable también se puede escribir como exponente. El término bajo el radical se escribe en base, y se eleva a la potencia 1/2. El término también se usa como exponente de la raíz cuadrada. Mire a través de los siguientes ejemplos:

\sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {x}}=x^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {4}}=4^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{3 X} = (3 X)^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {3x}}=(3x)^{frac {1}{2}}}$

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 3

3. Aplicar la regla del poder. Si la función es la raíz cuadrada más simple,

F (X) = \sqrt{X}

${ estilo de visualización f (x) = { sqrt {x}}}$ , luego aplique la regla de la potencia de la siguiente manera para encontrar la derivada:

F (X) = \sqrt{X}

${displaystyle f(x)={sqrt {x}} }$ (Escriba la función original.)

F (X) = X (\frac{1}{2})

${displaystyle f(x)=x^{({frac {1}{2}})} }$ (Reescribe la raíz como un exponente.)

F sexo (X) = \frac{1}{2} X^{(\frac{1}{2} - 1)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{({frac {1}{2}}-1)} }$ (Encuentre la derivada usando la regla de la potencia.)

F sexo (X) = \frac{1}{2} X^{(- \frac{1}{2})}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{(-{frac {1}{2}})} }$ (Simplifica el exponente.)

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 4

4. Simplifica el resultado. En esta etapa, debes saber que un exponente negativo significa que tomas el inverso de lo que sería el número con el exponente positivo. El exponente de

- \frac{1}{2}

${displaystyle -{frac {1}{2}}}$ significa que la raíz cuadrada de la base se convierte en el denominador de una fracción.

Continuando con la raíz cuadrada de la función x de arriba, la derivada se puede simplificar de la siguiente manera:

F sexo (X) = \frac{1}{2} X^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{-{frac {1}{2}}}}$

F sexo (X) = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{X}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}*{frac {1}{sqrt {x}}}}$

F sexo (X) = 12 \sqrt{X}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}$

Método 2 de 3: aplicar la regla de la cadena para funciones de raíz cuadrada

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 5

1. Repasar la regla de la cadena para funciones. La regla de la cadena es una regla para derivadas que se usa cuando la función original combina una función dentro de otra función. La regla de la cadena dice que, para dos funciones

F (X)

$f(x)$ y

gramo (X)

${ estilo de visualización g (x)}$ , la derivada de la combinación de las dos funciones se puede encontrar de la siguiente manera:

Si $y = F (gramo (X))$ ${ estilo de visualización y = f (g (x))}$ , entonces $y sexo = F^{sexo} (gramo) * {gramo}^{sexo} (X)$ ${displaystyle y^{principal}=f^{principal}(g)*g^{principal}(x)}$ .

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 6

2. Definir las funciones de la regla de la cadena. El uso de la regla de la cadena requiere que primero defina las dos funciones que componen su función combinada. Para las funciones de raíz cuadrada, la función más externa es

F (gramo)

${ estilo de visualización f (g)}$ la función raíz cuadrada y la función más interna

gramo (X)

${ estilo de visualización g (x)}$ la función bajo el radical.

Por ejemplo: suponga que tiene la derivada de

\sqrt{3 X + 2}

${ estilo de visualización { sqrt {3x+2}}}$ querer encontrar. Luego defina las dos partes de la siguiente manera:

F (gramo) = \sqrt{gramo} = {gramo}^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

gramo (X) = (3 X + 2)

${ estilo de visualización g (x) = (3x + 2)}$

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 7

3. Encuentra las derivadas de las dos funciones. Para aplicar la regla de la cadena a la raíz cuadrada de una función, primero debe encontrar la derivada de la función raíz cuadrada general:

F (gramo) = \sqrt{gramo} = {gramo}^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

F sexo (gramo) = \frac{1}{2} {gramo}^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2}}g^{-{frac {1}{2}}}}$

F sexo (gramo) = 12 \sqrt{gramo}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2{sqrt {g}}}}}$

Luego determine la derivada de la segunda función:

gramo (X) = (3 X + 2)

${ estilo de visualización g (x) = (3x + 2)}$

gramo sexo (X) = 3

${displaystyle g^{primo}(x)=3}$

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 8

4. Combinar las funciones en la regla de la cadena. La regla de la cadena es

y sexo = F^{sexo} (gramo) * {gramo}^{sexo} (X)

${displaystyle y^{principal}=f^{principal}(g)*g^{principal}(x)}$ . Combina las derivadas de la siguiente manera:

y sexo = 12 \sqrt{gramo} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {g}}}}*3}$

y sexo = 12 \sqrt{(3 X + 2} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {(3x+2}}}}*3}$

y sexo = 32 \sqrt{(3 X + 2}

${displaystyle y^{prime }={frac {3}{2{sqrt {(3x+2}}}}}$

Método 3 de 3: encontrar rápidamente las derivadas de las funciones raíz

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 9

1. Determinar las derivadas de una función de raíz cuadrada usando un método rápido. Cuando quieras encontrar la derivada de la raíz cuadrada de una variable o una función, puedes aplicar una regla simple: la derivada siempre será la derivada del número debajo del radical, dividida por el doble de la raíz cuadrada original. Simbólicamente, esto se puede representar como:

Si $F (X) = \sqrt{Uds}$ ${ estilo de visualización f (x) = { sqrt {u}}}$ , entonces $F sexo (X) = Uds sexo 2 \sqrt{Uds}$ ${displaystyle f^{prime }(x)={frac {u^{prime }}{2{sqrt {u}}}}}$

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 10

2. Encuentra la derivada del número debajo del radical. Este es un número o función bajo el signo de la raíz cuadrada. Para usar este método rápido, solo encuentre la derivada del número debajo del radical. Mira los siguientes ejemplos:

en la funcion

\sqrt{5 X + 2}

${ estilo de visualización { sqrt {5x+2}}}$ , es el número raíz

(5 X + 2)

${ estilo de visualización (5x+2)}$ . la derivada es

5

$5$ .

en la funcion

\sqrt{3 X} 4

${ estilo de visualización { sqrt {3x^{4}}}}$ , es el número raíz

3 X 4

${ estilo de visualización 3x^{4}}$ . la derivada es

12 X 3

${ estilo de visualización 12x^{3}}$ .

en la funcion

\sqrt{s I norte (X)}

${displaystyle {sqrt {sin(x)}}}$ , es el número raíz

pecado (X)

${ estilo de visualización pecado (x)}$ . la derivada es

porque (X)

${ estilo de visualización cos (x)}$ .

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 11

3. Escribe la derivada del número raíz como el numerador de una fracción. La derivada de una función de raíz cuadrada contendrá una fracción. El numerador de esta fracción es la derivada del número raíz. Entonces, en las funciones de ejemplo anteriores, la primera parte de la derivada será así:

F (X) = \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , entonces

F sexo (X) = \frac{5}{denominador}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {5}{text{denominador}}}}$

F (X) = \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , entonces

F sexo (X) = 12 X 3 denominador

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {12x^{3}}{text{denominador}}}}$

F (X) = \sqrt{pecado (X)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , entonces

F sexo (X) = porque (X) denominador

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {cos(x)}{text{denominador}}}}$

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 12

4. Escribe el denominador como el doble de la raíz cuadrada original. Con este método rápido, el denominador es el doble de la función raíz cuadrada original. Entonces, en las tres funciones de ejemplo anteriores, los denominadores de las derivadas son:

F (X) = \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , entonces

F sexo (X) = encimera 2 \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{contador}}{2{sqrt {5x+2}}}}}$

F (X) = \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , entonces

F sexo (X) = encimera 2 \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{contador}}{2{sqrt {3x^{4}}}}}}}$

F (X) = \sqrt{pecado (X)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , entonces

F sexo (X) = encimera 2 \sqrt{pecado (X)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{contador}}{2{sqrt {sin(x)}}}}}$

Imagen titulada Diferenciar la raíz cuadrada de X Paso 13

5. Combina el numerador y el denominador para encontrar la derivada. Junta las dos mitades de la fracción y el resultado será la derivada de la función original.