Resolver ecuaciones trigonométricas: 8 pasos (con fotos)

Una ecuación trigonométrica es una ecuación con una o más funciones trigonométricas de la curva trigonométrica variable x. Resolver para x significa encontrar los valores de las curvas trigonométricas cuyas funciones trigonométricas hacen verdadera la ecuación trigonométrica.

Respuestas o valores de las curvas solución, se expresan en grados o radianes. Ejemplos:

x = Pi/3; x = 5Pi/6 ; x = 3Pi/2 ; x = 45 grados; x = 37,12 grados; x = 178,37 grados

Nota: En el círculo unitario, las funciones trigonométricas de cualquier curva son iguales a las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. El círculo unitario define todas las funciones trigonométricas de la curva variable x. También se usa como prueba al resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

sen x + sen 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
cos 3x + sen 2x = cos x; 2 sen 2x + cos x = 1 .

El circulo unitario.
Este es un círculo con Radius = 1, donde O es el origen. El círculo unitario define 4 funciones trigonométricas principales de la curva variable x, que gira en sentido contrario a las agujas del reloj a su alrededor.
Cuando la curva con valor x varía en el círculo unitario, entonces se cumple:
El eje horizontal OAx define la función trigonométrica f(x) = cos x.
El eje vertical OBy define la función trigonométrica f(x) = sen x.
El eje vertical AT define la función trigonométrica f(x) = tan x.
El eje horizontal BU define la función trigonométrica f(x) = cot x.

El círculo unitario también se usa para resolver ecuaciones trigonométricas básicas y desigualdades trigonométricas estándar, al considerar las diversas posiciones de la curva x en el círculo.

Pasos

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 1

1. Comprender el método de solución.

Para resolver una ecuación trigonométrica, conviértala en una o más ecuaciones trigonométricas básicas. Resolver ecuaciones trigonométricas eventualmente resulta en resolver 4 ecuaciones trigonométricas básicas.

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 2

2. Saber resolver ecuaciones trigonométricas básicas.

Hay 4 ecuaciones trigonométricas básicas:

sen x = a; porque x = un

bronceado x = a; cuna x = a

La resolución de las ecuaciones trigonométricas básicas se realiza estudiando las diversas posiciones de la curva x en el círculo trigonométrico y utilizando una tabla de conversión trigonométrica (o calculadora). Para comprender completamente cómo resolver estas y otras ecuaciones trigonométricas básicas similares, lea el siguiente libro:"Trigonometría: resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas" (Libro electrónico de Amazon 2010).

Ejemplo 1. Resolver para sen x = 0.866. La tabla de conversión (o calculadora) da la respuesta: x = Pi/3. El círculo trigonométrico da otra curva (2Pi/3) con el mismo valor para el seno (0.866). El círculo trigonométrico también da una infinidad de respuestas llamadas respuestas extendidas.

x1 = Pi/3 + 2k.Pi y x2 = 2Pi/3.(Respuestas dentro de un período (0, 2Pi))

x1 = Pi/3 + 2k Pi y x2 = 2Pi/3 + 2k Pi.(Respuestas detalladas).

Ejemplo 2. Resuelve: cos x = -1/2. Las calculadoras dan x = 2 Pi/3. El círculo trigonométrico también da x = -2Pi/3.

x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = - 2Pi/3.(Respuestas para el período (0, 2Pi))

x1 = 2Pi/3 + 2k Pi y x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi.(Respuestas detalladas)

Ejemplo 3. Resolver: bronceado (x - Pi/4) = 0.

x = Pi/4 ;(Respuesta)

x = Pi/4 + k Pi;(Respuesta ampliada)

Ejemplo 4. Resolver: cuna 2x = 1.732. Las calculadoras y el círculo trigonométrico dan:

x = Pi/12 ;(Respuesta)

x = Pi/12 + k Pi ;(Respuestas detalladas)

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 3

3. Aprende las transformaciones utilizadas para resolver ecuaciones trigonométricas.

Para convertir una ecuación trigonométrica dada en ecuaciones trigonométricas estándar, use conversiones algebraicas estándar (factorizar, factor común, polinomios...), definiciones y propiedades de funciones trigonométricas e identidades trigonométricas. Hay alrededor de 31, de las cuales 14 son identidades trigonométricas, del 19 al 31, también llamadas identidades de transformación, porque se utilizan en la conversión de ecuaciones trigonométricas. Ver el libro anterior.

Ejemplo 5: La ecuación trigonométrica: sen x + sen 2x + sen 3x = 0 puede convertirse usando identidades trigonométricas en un producto de ecuaciones trigonométricas básicas: 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Las ecuaciones trigonométricas básicas a resolver son: cos x = 0 ; sin(3x/2) = 0 ; y cos(x/2) = 0.

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 4

4. Encuentre las curvas cuyas funciones trigonométricas se conocen.

Antes de que pueda aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, necesita saber cómo encontrar rápidamente las curvas cuyas funciones trigonométricas son conocidas. Los valores de conversión de curvas (o ángulos) se pueden determinar con tablas trigonométricas o la calculadora.

Ejemplo: Resolver para cos x = 0.732. La calculadora da la solución x = 42,95 grados. El círculo unitario da otras curvas con el mismo valor para el coseno.

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 5

5. Dibuja el arco de la respuesta en el círculo unitario.

Puedes hacer un gráfico para ilustrar la solución al círculo unitario. Los extremos de estas curvas consisten en polígonos ordinarios en el círculo trigonométrico. Algunos ejemplos:

Los puntos extremos de la curva x = Pi/3 + k.Pi/2 es un cuadrado en el círculo unitario.

Las curvas de x = Pi/4 + k.Pi/3 están representados por las coordenadas de un hexágono en el círculo unitario.

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 6

6. Aprende a resolver ecuaciones trigonométricas.

Si la ecuación trigonométrica dada contiene solo una función trigonométrica, resuélvela como una ecuación trigonométrica estándar. Si la ecuación dada contiene dos o más funciones trigonométricas, entonces hay 2 métodos de solución dependiendo de las opciones para convertir la ecuación.

a.Método 1.

Convierta la ecuación trigonométrica en un producto de la forma: f(x).g(x) = 0 o f(x).g(x).h(x) = 0, donde f(x), g(x) y h(x) son ecuaciones trigonométricas básicas.

Ejemplo 6. Resuelve: 2cos x + sen 2x = 0.(0 < X < 2Pi)

Solución. Reemplace sin 2x en la ecuación usando la identidad: sin 2x = 2*sin x*cos x.

cos x + 2*sen x*cos x = 2cos x*( sen x + 1)= 0. Luego resuelve 2 funciones trigonométricas estándar: cos x = 0, y (sin x + 1) = 0.

Ejemplo 7. Resuelve: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < X < 2Pi)

Solución: Convierta esto en un producto, usando las identidades trigonométricas: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Ahora resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2cos x + 1) = 0.

Ejemplo 8. Resolver: sen x - sen 3x = cos 2x.(0 < X < 2Pi)

Solución: Convierta esto en un producto, usando las identidades trigonométricas: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ahora resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2sin x + 1) = 0.

B.Enfoque 2.

Convierta la ecuación trigonométrica en una ecuación trigonométrica con solo una función trigonométrica única como variable. Hay algunos consejos sobre cómo elegir una variable adecuada. Las variables comunes son: sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t y tan (x/2) = t.

Ejemplo 9. Resuelve: 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7(0 < X < 2Pi).

Solución. En la ecuación, reemplace (cos ^ 2 x) con (1 - sin ^ 2 x) y simplifique la ecuación:

3sen^2 x - 2 + 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Ahora usa sen x = t. La ecuación se convierte en: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación cuadrática con 2 raíces: t1 = -1 y t2 = 9/5. Podemos rechazar el segundo t2 porque > 1. Ahora resuelve para: t = sin = -1 --> x = 3Pi/2.

Ejemplo 10. Resolver: tan x + 2 tan^2 x = cot x + 2.

Solución. Usar bronceado x = t. Convierte la ecuación dada en una ecuación con t como variable: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Resuelva para t de este producto, luego resuelva la ecuación trigonométrica estándar tan x = t para x.

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 7

7. Resolver ecuaciones trigonométricas especiales.

Hay algunas ecuaciones trigonométricas especiales que requieren algunas conversiones específicas. Ejemplos:

a*sen x+ b*cos x = c ; a(sen x + cos x) + b*cos x*sen x = c ;

a*sen^2 x + b*sen x*cos x + c*cos^2 x = 0

Imagen titulada Resolver ecuaciones trigonométricas Paso 8

8. Aprende las propiedades periódicas de las funciones trigonométricas.

Todas las funciones trigonométricas son periódicas, lo que significa que vuelven al mismo valor después de una rotación durante un período. Ejemplos:

La función f(x) = sen x tiene 2Pi como periodo.

La función f(x) = tan x tiene como periodo a Pi.

La función f(x) = sen 2x tiene a Pi como periodo.

La función f(x) = cos (x/2) tiene 4Pi como periodo.

Si el período se especifica en los ejercicios/prueba, entonces solo necesita encontrar la(s) curva(s) x dentro de este período.

PRECAUCIÓN: Resolver ecuaciones trigonométricas es complicado y, a menudo, conduce a errores y equivocaciones. Por lo tanto, las respuestas deben revisarse cuidadosamente. Después de resolver, puede verificar las respuestas usando una calculadora gráfica, para una representación directa de la ecuación trigonométrica dada R(x) = 0. Las respuestas (como raíz cuadrada) se dan en decimales. Como ejemplo, Pi tiene un valor de 3.14