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3x + 2x - 8 
6x + 13x + 6 
8x + 10x + 2 
27x - 12 = 0 
x + 4x + 1 = 0 
y = x - x - 2 
Si no puede ver dónde se cruza la parábola con el eje x, presione [2nd] y luego [TRACE]. Presione [2] o seleccione "cero". Mueva el cursor a la izquierda de una intersección y presione [ENTER]. Mueva el cursor al lado derecho de una intersección y presione [ENTER]. Mueva el cursor lo más cerca posible de la intersección y presione [ENTER]. La calculadora indicará el valor de x.Haz lo mismo para el otro punto de intersección. 
Factorización de ecuaciones cuadráticas
Contenido
Un polinomio contiene una variable (x) elevada a una determinada potencia, y varios términos y/o constantes. Para factorizar un polinomio, deberá dividir la expresión en expresiones más pequeñas que se multiplican entre sí. Esto requiere un cierto nivel de matemáticas y, por lo tanto, puede ser difícil de entender si aún no estás tan lejos.
Pasos
Método 1 de 7: Primeros pasos
1. La ecuacion. El formato estándar para una ecuación cuadrática es:
hacha + bx + c = 0
Comienza ordenando los términos en tu ecuación de mayor a menor potencia. Por ejemplo, toma:
6 + 6x + 13x = 0
Vamos a reorganizar esta expresión para que sea más fácil trabajar con ella, simplemente moviendo los términos:
6x + 13x + 6 = 0
Comienza ordenando los términos en tu ecuación de mayor a menor potencia. Por ejemplo, toma:
Vamos a reorganizar esta expresión para que sea más fácil trabajar con ella, simplemente moviendo los términos:
2. Encuentre los factores usando uno de los siguientes métodos. Factorizar el polinomio dará como resultado dos expresiones más pequeñas que se pueden multiplicar para obtener el polinomio original:
6x + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
En este ejemplo, (2x +3) y (3x + 2) son factores de la expresión original, 6x + 13x + 6.
En este ejemplo, (2x +3) y (3x + 2) son factores de la expresión original, 6x + 13x + 6.
3. Revisa tu trabajo! Multiplica los factores que encontraste. Combina los términos similares y listo. Empezar con:
(2x + 3)(3x + 2)
Probemos esto, multiplicando los términos usando EBBL (primero - exterior - interior - último), lo que nos da:
6x + 4x + 9x + 6
Ahora sumamos 4x y 9x porque estos son términos iguales. Sabemos que los factores son correctos porque recuperamos la ecuación con la que comenzamos:
6x + 13x + 6
Probemos esto, multiplicando los términos usando EBBL (primero - exterior - interior - último), lo que nos da:
Ahora sumamos 4x y 9x porque estos son términos iguales. Sabemos que los factores son correctos porque recuperamos la ecuación con la que comenzamos:
Método 2 de 7: prueba y error
Si tiene un polinomio bastante simple, es posible que pueda ver de inmediato cuáles son los factores. Por ejemplo, después de un poco de práctica, muchos matemáticos pueden ver que la expresión 4x + 4x + 1 tiene los factores (2x + 1) y (2x + 1) solo porque lo han visto muchas veces. (Obviamente esto no será tan fácil con polinomios más complicados.) Tomemos una expresión menos estándar para este ejemplo:
1. Escribe los factores de la a término y el C término. Usa el formato hacha + bx + c = 0, reconocer la a y C términos y anote qué factores hay. Para 3x + 2x - 8, esto significa:
a = 3 y tiene 1 par de factores: 1 * 3
c = -8 y tiene 4 pares de factores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 y -1 * 8.
2. Escribe dos pares de corchetes con un espacio vacío. Aquí se ingresan las constantes de cada expresión:
(x)(x)
3. Llena el espacio frente a las x con algunos posibles factores de la a donde el. Para el a término en nuestro ejemplo, 3x, solo hay 1 posibilidad:
(3x)(1x)
4. Completa los 2 espacios después de las x con algunos factores para las constantes. Supongamos que elegimos 8 y 1. Ingrese esto:
(3x 8)(X 1)
5. Determine qué signos (más o menos) deben colocarse entre las variables x y los números. Dependiendo de los signos de la expresión original, es posible averiguar cuáles deben ser los signos de las constantes. Tomemos las dos constantes de los dos factores h y k mencionar:
Si ax + bx + c entonces (x + h)(x + k)
Si ax - bx - c o ax + bx - c entonces (x - h)(x + k)
Si ax - bx + c entonces (x - h)(x - k)
En nuestro ejemplo, 3x + 2x - 8, el signo es:(x - h)(x + k), lo que nos da los siguientes dos factores:
(3x + 8) y (x - 1)
En nuestro ejemplo, 3x + 2x - 8, el signo es:(x - h)(x + k), lo que nos da los siguientes dos factores:
6. Pruebe su elección con la multiplicación primero-exterior-interior-último. Una primera prueba rápida para ver si el término medio es al menos el valor correcto. Si no es así, probablemente tengas el equivocado C factores elegidos. Probemos la respuesta:
(3x + 8)(x - 1)
Por multiplicación obtenemos:
3x - 3x + 8x - 8
Simplifica esta expresión sumando los términos semejantes (-3x) y (8x), y obtenemos:
3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ahora sabemos que tomamos los factores equivocados:
3x + 5x - 8 3x + 2x - 8
Por multiplicación obtenemos:
Simplifica esta expresión sumando los términos semejantes (-3x) y (8x), y obtenemos:
Ahora sabemos que tomamos los factores equivocados:
7. Cambia tus opciones si es necesario. En nuestro ejemplo, probemos 2 y 4, en lugar de 1 y 8:
(3x + 2)(x - 4)
Ahora nuestro C término igual a -8, pero el producto exterior/interior de (3x * -4) y (2 * x) es -12x y 2x, que no es el correcto B término o +2x obtiene.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Ahora nuestro C término igual a -8, pero el producto exterior/interior de (3x * -4) y (2 * x) es -12x y 2x, que no es el correcto B término o +2x obtiene.
8. Invierta el orden si es necesario. Intentemos voltear 2 y 4:
(3x + 4)(x - 2)
Ahora nuestro C término (4 * 2 = 8) y todavía está bien, pero los productos exterior/interior son -6x y 4x.Combinando estos obtenemos:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Nos estamos acercando bastante al 2x donde queremos estar, pero la señal aún no es la correcta.
Ahora nuestro C término (4 * 2 = 8) y todavía está bien, pero los productos exterior/interior son -6x y 4x.Combinando estos obtenemos:
9. Revisa dos veces tus personajes si es necesario. Mantenemos este orden, pero lo intercambiamos con el signo menos:
(3x - 4)(x + 2)
Ahora el C el término aún está bien, y los productos exterior/interior ahora son (6x) y (-4x). Porque:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ahora vemos el 2x positivo de regreso del problema original. Estos deben ser los factores correctos.
Ahora el C el término aún está bien, y los productos exterior/interior ahora son (6x) y (-4x). Porque:
Método 3 de 7: Descomposición
Este método da todos los factores posibles de a y C términos y utilícelos para averiguar qué factores son los correctos. Si los números son muy grandes, o las conjeturas de otros métodos van a llevar demasiado tiempo, utilice esta forma. Un ejemplo:
1. Multiplica el a termino con el C término. En este ejemplo,, a es 6 y C también es 6.
6 * 6 = 36
2. Encuentra el B término por factorización y prueba. Estamos buscando 2 números que sean factores de a * C , y juntos el B término (13) formulario.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3. Sustituye los dos números que obtienes en tu ecuación como la suma de los B término. Vamos k y h para representar los 2 números que tenemos, el 4 y el 9:
hacha + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
4. Factorizar el polinomio por agrupación. Organice la ecuación para que pueda aislar el máximo común divisor de los dos primeros términos y los dos últimos términos. Ambos factores deben ser iguales. Sume los MCD y colóquelos entre paréntesis, al lado de los factores; como resultado se obtienen los dos factores:
6x + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
Método 4 de 7: Triple Play
Similar al método de descomposición. El método del `triple play` examina los posibles factores del producto de a y C y úsalo para averiguar qué B debe ser. Tomemos la ecuación como ejemplo:
1. Multiplica el a termino con el C término. Al igual que con el método de descomposición, lo usamos para determinar los candidatos para el B término. En este ejemplo: a es 8 y C es 2.
8 * 2 = 16
2. Encuentre los 2 números con este número como producto y con una suma igual a la B término. Este paso es equivalente al método de descomposición: probamos candidatos para las constantes. el producto de la a y C términos es 16, y el C término es 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
3. Tome estos 2 números y sustitúyalos en la fórmula `triple play`. Tome los 2 números del paso anterior - vamos a ponerlos h y k llámalos - y ponlos en la expresión:
((ax + h)(ax + k))/ un
Con esto obtenemos:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Con esto obtenemos:
4. Vea cuál de los dos términos en el denominador se puede dividir completamente por a. En este ejemplo, estamos viendo si (8x + 8) o (8x + 2) se pueden dividir por 8. (8x + 8) es divisible por 8, entonces dividimos este término por a y dejemos al otro solo.
(8x + 8) = 8(x + 1)
El término que hemos conservado aquí es el que sobra después de dividir por el a término:(x + 1)
El término que hemos conservado aquí es el que sobra después de dividir por el a término:(x + 1)
5. Tome el máximo común divisor (mcd) de uno o ambos términos, si es posible. En este ejemplo vemos que el segundo término tiene un mcd de 2, porque 8x + 2 = 2(4x + 1). Combine esta respuesta con el término que descubrió en el paso anterior. Estos son los factores de tu ecuación.
2(x + 1)(4x + 1)
Método 5 de 7: La diferencia entre dos cuadrados
Algunos coeficientes en un polinomio se pueden reconocer como `cuadrados`, o también como el producto de 2 de los mismos números. Al descubrir cuáles son estos cuadrados, es posible que puedas factorizar los polinomios mucho más rápido. Tomamos la ecuación:
1. Retire el mcd de la ecuación, si es posible. En este caso vemos que 27 y 12 son ambos divisibles por 3, así que podemos ponerlos por separado:
27x - 12 = 3(9x - 4)
2. Determina si los coeficientes de tu ecuación son cuadrados. Para utilizar este método es necesario poder determinar la raíz de los términos. (Tenga en cuenta que omitimos los decimales; dado que estos números son cuadrados, pueden ser el producto de 2 números negativos)
9x = 3x * 3x y 4 = 2 * 2
3. Usando la raíz cuadrada que determinaste, ahora puedes escribir los factores. tomamos el a y C valores del paso anterior: a = 9 y C = 4, por lo que las raíces de este son: - √a = 3 yC = 2. Estos son los coeficientes de las expresiones factorizadas:
27x - 12 = 3(9x - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Método 6 de 7: La fórmula ABC
Si nada parece funcionar y no puede factorizar la ecuación, use la fórmula abc. Tome el siguiente ejemplo:
1. Complete los valores correspondientes, en la fórmula abc:
x = -b ± √(b - 4ac)
---------------------
2a
Ahora obtenemos la expresión:
x = -4 ± √(4 - 4•1•1) / 2
---------------------
2a
Ahora obtenemos la expresión:
2. Solución para x. Ahora debería obtener 2 valores para x. Estos son:
x = -2 + √(3) o x = -2 - √(3)
x = -2 + √(3) o x = -2 - √(3)
3. Usa los valores de x para determinar los factores. Rellena los valores de x obtenidos en las dos ecuaciones, como constantes. Estos son tus factores. Si respondemos a las dos h y k entonces escribimos los dos factores de la siguiente manera:
(x - h)(x - k)
En este caso, la respuesta final es:
(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
En este caso, la respuesta final es:
Método 7 de 7: usa una calculadora
Si está permitido (o requerido) usar una calculadora gráfica, esto hace que la factorización sea mucho más fácil, especialmente durante los exámenes y exámenes. Las siguientes instrucciones son para una calculadora gráfica TI. Usamos la ecuación del ejemplo:
1. Introduce la ecuación en tu calculadora. Usarás el solucionador de ecuaciones, también conocido como la pantalla [Y = ].
2. Graficar la ecuación con la calculadora. Una vez que hayas ingresado la ecuación, presiona [GRAPH] - ahora deberías ver una línea curva, una parábola como una representación gráfica de tu ecuación (y es una parábola, porque estamos tratando con un polinomio).
3. Encuentra donde la parábola se cruza con el eje x. Dado que una ecuación cuadrática se expresa tradicionalmente como ax + bx + c = 0, estos son los dos valores de x que hacen que la ecuación sea igual a cero:
(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
4. Ingresa los valores de x que obtuviste, en las dos expresiones factorizadas. Si tomamos los dos valores de x h y k escríbalo como un término, entonces la expresión que usamos se ve así:
(x - h)(x - k) = 0
Entonces nuestros dos factores se convierten en:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Entonces nuestros dos factores se convierten en:
Consejos
- Si factorizaste el polinomio con la fórmula abc, y tu respuesta contiene raíces, puedes convertir los valores de x en fracciones para verificarlos.
- Si un término no tiene coeficiente delante de él, entonces el coeficiente es igual a 1, por ejemplo. x = 1x.
- Si tienes una calculadora TI-84, hay un programa llamado SOLVER que puede resolver una ecuación cuadrática por ti. Esto también resuelve polinomios de mayor grado.
- Después de mucha práctica, eventualmente lograrás resolver polinomios de memoria. Pero para estar seguro, es mejor escribirlos siempre.
- Si un término no existe, entonces el coeficiente es igual a cero. Entonces puede ser útil reescribir la ecuación. P.ej. x + 6 = x + 0x + 6.
Advertencias
- Cuando aprendas este concepto en la clase de matemáticas, presta atención a lo que explica el profesor y no utilices simplemente tu método favorito. Es posible que se le pida que use un método específico en una prueba, o que no se le permitan las calculadoras gráficas.
Artículos de primera necesidad
- Lápiz
- Papel
- Ecuación cuadrática (también llamada ecuación cuadrática)
- calculadora gráfica (opcional)
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