Factorizar

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En Álgebra, una ecuación cuadrática es un polinomio que consta de 3 términos, de la forma ax + bx + c. Los polinomios tienen muchas aplicaciones en matemáticas y ciencias, y resolver ecuaciones cuadráticas es una habilidad importante. Si bien la mayoría de las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar simplemente, hay varios casos en los que una ecuación cuadrática se debe factorizar de una manera especial.Si ninguno de los métodos de la siguiente guía es útil, entonces puede ser necesario usar métodos para factorizar polinomios más altos.

Pasos

Método 1 de 4: División dos

1. Ordena los argumentos de la ecuación cuadrática de mayor a menor. Un argumento es una variable en el polinomio; el orden normal de colocación de los términos es de mayor potencia a menor. Entonces, 5 + x + 6x debe ordenarse como x + 6x + 5.

2. Excluye todos los factores que ocurren en los tres términos. Si las constantes de la ecuación cuadrática son todas múltiplos del mismo número, puede ponerlas fuera de los paréntesis, o si cada componente de la ecuación cuadrática tiene una variable igual, entonces esa variable puede colocarse fuera de los paréntesis.

Por ejemplo, en la ecuación cuadrática -8a + 24a + 144, cada constante es un múltiplo de 8, por lo que 8 se puede colocar fuera de los paréntesis, dando -8(a - 3a - 18). Aunque el coeficiente -3 y la constante -18 son divisibles por -3, el coeficiente 1 del primer término no lo es, por lo que no podemos factorizar más.

En la ecuación cuadrática - x - 2x - 1, cada término es divisible por -1, que después de factorizar se puede escribir como (-1)(x + 2x + 1).

3. Buscar patrones que faciliten la resolución de una ecuación cuadrática. Para obtener información y ejemplos cada vez más detallados, consulte el método para resolver casos especiales de una ecuación cuadrática.

4. Si es posible, trate de dividir la ecuación cuadrática en 2 dos términos de la forma (mx + n)(qx + r). A menudo, esto es solo probar lo que funciona, pero hay trucos que lo hacen más fácil. Supongamos primero que el primer término de la ecuación cuadrática (el término x) es igual a 1 (el término se parece más a x que p., 3x). Los valores m y q de los dos términos son 1, por lo que su solución se verá como (x + b)(x + d). Luego encuentra para tu ecuación de la forma ax + bx + c, los valores n y r tales que: n * r = c y n + r = b.

En el ejemplo, x + 6x + 5, 5 * 1 = 5 y 5 + 1 = 6. Entonces, la solución es (x + 1)(x + 5).

Si no todos los términos en la ecuación cuadrática son positivos, no olvides considerar los números negativos. Por ejemplo, x - 3x - 18 se factoriza en (x - 6)(x + 3) porque -6 + 3 = -3 y -6 * 3 = -18.

5. Si la constante en el primer término no es igual a 1 (por ejemplo. si se parece más a 3x que a x), la factorización se vuelve un poco más difícil, y a través de ax + bx + c finalmente obtienes una solución en la forma (mx + n)(qx + r). Para una solución correcta, m * q = a, m * r + n * q = b, y n * r = c.

Comienza haciendo una lista de todos los factores posibles de a y c. Luego verifique qué par de factores funciona, usando las restricciones como se indica arriba.

Por ejemplo, toma 3x + 10x + 8. Los posibles pares de factores de 3 son 1 * 3. Los posibles pares de factores de 8 son 1 * 8 y 2 * 4. Como 3 * 1 = 3 (el término de la ecuación cuadrática), 1 * 4 + 2 * 3 = 10 (el término b) y 2 * 4 = 8 (el término c), la solución es (3x + 4) (x + 2).

Método 2 de 4: factorización de casos especiales

1. Comprobar si la constante en el primer término o en el tercer término de la ecuación es primo. Un numero primo solo es divisible por si mismo y por 1. Esto disminuye el número de posibles factores binomiales. En el ejemplo anterior: x + 6x + 5 solo hay 1 conjunto posible de factores binomiales, (x + 5)(x + 1), porque 5 es primo.

2. Comprueba si la ecuación cuadrática es un cuadrado perfecto. Esto requiere que los valores de los coeficientes a y c de la ecuación ax+bx+c sean cuadrados perfectos (y positivos!), y que el valor de b es el doble del valor del producto de la raíz cuadrada de a y c.

(x + a) se convierte en x + 2ax + a. Por ejemplo, (x + 3) = x + 6x + 9 y (3x + 2) = 9x + 12x + 4.

Asimismo, (x - a) se convierte en x - 2ax + a. Por ejemplo, (x - 3) = x - 6x + 9.

3. Para algunas ecuaciones cuadráticas de la forma x - n:

(x + a)(x - a) se convierte en x - a. Entonces x - 9 se puede factorizar rápidamente en (x + 3)(x - 3), y 4x - 4 = (2x + 2)(2x - 2).

Método 3 de 4: usar la fórmula abc

Para ecuaciones cuadráticas de la forma ax + bx + c que son difíciles o imposibles de resolver, use la fórmula abc.

1. Aprende a usar la fórmula abc.

2. Ingrese a, b y c y resuelva la primera parte de la fórmula. Supongamos que tenemos la ecuación cuadrática x + 5x + 6.

Comience con b - 4ac, que es 5 - 4(1)(6) = 1. la raiz cuadrada de 1 es 1.

Termina resolviendo la ecuación. -b + 1 = -5 + 1 = -4. Divida esto por 2a (2 * 1 = 2) para obtener -2 como respuesta.

3. Resuelve la otra parte. Ya sabemos que la raíz cuadrada de b - 4ac = 1. -b - 1 = -6. Divida esto por 2a (2) para obtener -3.

4. Verifique sus soluciones completándolas para x. A veces una o más de las respuestas no son soluciones válidas (por ejemplo, si son números imaginarios). Pero si una ecuación cuadrática tiene una solución, entonces la ecuación la encontrará.

Tenga en cuenta que si hubiéramos factorizado esta ecuación, en lugar de usar la fórmula abc, habríamos tenido como respuesta (x + 2)(x + 3). Si estableces esta ecuación igual a 0, obtienes dos soluciones, x = 2 y x = -3, que también encontramos con la fórmula.

Método 4 de 4: El cuadrado oculto en un polinomio

Algunas ecuaciones cuadráticas son de orden superior, pero esencialmente solo cuadráticas. Una vez reconocidos como tales, puede tratarlos como tales utilizando la sustitución.

1. Observa las variables en cada término.Por ejemplo, x - 7x + 12 parece ser una potencia de 6, pero después de sustituir u=x, se convierte en u - 7u + 12. Esto te deja con una ecuación que es mucho más fácil de resolver.

Sustituciones más complejas pueden ayudar a resolver problemas más complicados. Por ejemplo, xy - 7xy + 12y se simplifica a xy(u - 7u + 12) y después de la sustitución u = x/y. Tal sustitución es posible siempre que la suma de las potencias de los dos términos sea el doble de la potencia del término restante.

2. Si tal sustitución puede tener lugar, entonces factorice el polinomio simple, en este caso, u - 7u + 12 = (u-3)(u-4)

3. Deshace la sustitución y aplica x a la solución. Entonces, reemplaza u con x , x - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4). Si es posible o se desea, cada factor se puede simplificar aún más.

Consejos

Use el criterio de Eisenstein para determinar rápidamente si un polinomio es no reducible y no factorizable. Este criterio se aplica a cualquier polinomio, pero especialmente a una ecuación cuadrática. Si existe un número primo p que hace divisibles los dos últimos términos y cumple las siguientes condiciones, entonces el polinomio no se puede reducir:

El término constante (la c en una ecuación cuadrática de la forma ax + bx + c) es un plural de p pero no de p.
El primer término (aquí, a) no es un plural de p.
Por ejemplo, 14x + 45x + 51 es irreducible porque tiene un número primo (3) que hace que tanto 45 como 51 sean divisibles, pero no 14 ni 51, que no son divisibles por 3.

Puede factorizar polinomios de múltiples variables usando los métodos anteriores si son ecuaciones cuadráticas que asumen alguna variable. Por ejemplo, toma 4xy - 5x + 15y. Esto se puede reescribir como (4x)y + 15y - 5x. Tenga en cuenta que esto se ajusta a la forma ax + bx + c, donde a = 4x y c = 5x. Esta ecuación se puede resolver con la fórmula abc.

Puedes practicar la factorización de ecuaciones cuadráticas haciendo problemas en un libro que trata sobre álgebra.

Advertencias

Si bien es cierto para los cuadrados, las ecuaciones cuadráticas que se pueden factorizar no son necesariamente el producto de dos binarios. Un contraejemplo es x + 105x + 46 = (x + 5x + 2)(x - 5x + 23).