Calcular la pendiente y las intersecciones de una línea

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Pasos

La pendiente de una línea mide qué tan empinada es la línea.También podría decir que es la distancia en el eje y en comparación con la distancia en el eje x, es decir, cuánto se eleva la línea verticalmente en relación con cuánto aumenta horizontalmente. Poder encontrar la pendiente de una línea, o usar la pendiente para encontrar puntos en la línea, es una habilidad importante que se usa en matemáticas, economía, ciencias, contabilidad/finanzas y otros campos.

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Método 1 de 4: Usar una gráfica para encontrar la pendiente

Imagen titulada Calcular la pendiente y las intersecciones de una línea Paso 1

1. Elija dos puntos en la línea. Dibuje puntos en el gráfico para representar estos puntos y anote sus coordenadas.

Al dibujar puntos, no olvide mencionar primero la coordenada x y luego la coordenada y.
Por ejemplo: podrías elegir los puntos (-3, -2) y (5, 4).

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2. Encuentre la elevación entre los dos puntos. Para hacer esto, necesitas comparar la diferencia en y de los dos puntos. Comience con el primer punto, el punto más a la izquierda en el gráfico, y cuente hasta llegar a la coordenada y del segundo punto.

El incremento puede ser positivo o negativo; es decir, tienes que contar hacia arriba o hacia abajo para encontrarlo. Si la recta se mueve hacia arriba y hacia la derecha, la subida es positiva. Si la recta se mueve hacia abajo y hacia la derecha, la subida es negativa.

Por ejemplo, si la coordenada y del primer punto es (-2) y la coordenada y del segundo punto es (4), sumas seis puntos y la elevación es 6.

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3. Determine la distancia horizontal entre los dos puntos. Para hacer esto, debe comparar la diferencia en los valores de x de los dos puntos. Comience con el primer punto, el punto más a la izquierda del gráfico, y cuente hasta llegar a la coordenada x del segundo punto.

La distancia horizontal siempre es positiva; es decir, solo se puede contar de izquierda a derecha, nunca de derecha a izquierda.

Por ejemplo, si la coordenada x del primer punto es (-3) y la coordenada x del segundo punto es (5), entonces contaría una distancia de 8.

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4. Haz una razón y/x para encontrar la pendiente. La pendiente suele ser una fracción, pero también puede ser un número entero.

Por ejemplo, si la subida es 6 y la caída es 8, entonces tu pendiente es

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ , que se puede simplificar a

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ .

Método 2 de 4: usar dos puntos dados para encontrar la pendiente

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1. Escribe la siguiente fórmula:

metro = y 2 - y_{1} X 2 - X_{1}

${displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ . En esta fórmula, `m` es la pendiente,

(X 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ son las coordenadas del primer punto,

(X 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ son las coordenadas del segundo punto.

Recuerda que la pendiente es igual a $\frac{y}{X}$ ${frac{y}{x}}$ . Usas esta fórmula para encontrar el cambio en y (elevación) sobre el cambio en x (distancia).

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2. Pon las coordenadas x e y en la fórmula. Asegúrate de tener las coordenadas del primer punto (

(X 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ ) y el segundo punto (

(X 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ ) en los lugares correctos de la fórmula; de lo contrario, no calculará la pendiente correcta.

Por ejemplo, dados los puntos (-3, -2) y (5, 4), su fórmula se verá así:

metro = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ .

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3. Complete el cálculo y simplifique si es posible. Esto le dará la pendiente como una fracción o un número entero.

Por ejemplo: con pendiente

metro = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ tu calculas

4 - (- 2) = 6

${ estilo de visualización 4-(-2) = 6}$ en el numerador ((recuerda sumar al restar un número negativo) y

5 - (- 3) = 8

${ estilo de visualización 5-(-3) = 8}$ en el denominador. simplificaste

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ entonces a

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , y por lo tanto

metro = \frac{3}{4}

${displaystyle m={frac {3}{4}}}$ .

Método 3 de 4: determinar la intersección con el eje y, dada la pendiente y un punto

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1. Establecer la fórmula y=metroX+B{ estilo de visualización y = mx + b} ${ estilo de visualización y = mx + b}$ sobre. En la fórmula, y es la coordenada y de cualquier punto de la línea recta, m es la pendiente, x es la coordenada x de cualquier punto de la línea y b es la intersección con el eje y.

$y = metro X + B$ $y=mx+b$ es la ecuación de una recta.
La intersección con el eje y es el punto donde la línea cruza el eje y.

CONSEJO DE EXPERTO

Gracia Imson, MA

Profesora de matemáticas en City College of San FranciscoGrace Imson es profesora de matemáticas con más de 40 años de experiencia. Actualmente enseña matemáticas en el City College de San Francisco y anteriormente se desempeñó en la facultad de matemáticas de la Universidad de Saint Louis. Grace ha enseñado matemáticas en primaria, secundaria y universidad. Tiene una maestría en ciencias de la educación con especialización en administración y supervisión escolar de la Universidad de Saint Louis.

Gracia Imson, MA
Profesor de matemáticas en City College of San Francisco

Nuestro experto explica:` Si tienes la pendiente y un punto, lo factorizas en la ecuación de la línea. En y = mx + b, m es la pendiente, y las coordenadas del punto contendrán tanto x como y. Luego resuelve b para encontrar la intersección con el eje y.

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2. Procesar la pendiente y las coordenadas de un punto en la línea. Recuerda que la pendiente es igual a la elevación sobre la distancia horizontal. Si necesita ayuda para encontrar la pendiente, consulte las instrucciones anteriores.

Por ejemplo: si la pendiente es igual a

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , y un punto en la línea es (5.4), entonces la fórmula se ve así:

4 = \frac{3}{4} (5) + B

${displaystyle 4={frac{3}{4}}(5)+b}$ .

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3. Resolver la ecuación para b. Primero multiplica la pendiente y la coordenada x. Resta este número de ambos lados para resolver b.

En el problema de ejemplo, la ecuación se convierte en

4 = 3 \frac{3}{4} + B

${displaystyle 4=3{frac {3}{4}}+b}$ . Si tu

3 \frac{3}{4}

${displaystyle 3{frac {3}{4}}}$ se resta de ambos lados, se obtiene

\frac{1}{4} = B

${displaystyle {frac{1}{4}}=b}$ . Entonces la intersección con el eje y es igual a

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ .

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4. Revisa tu trabajo. Trace el punto conocido en un gráfico y luego dibuje una línea usando la pendiente (la pendiente). Para encontrar la intersección con el eje y, encuentre el punto donde la línea interseca el eje y.

Por ejemplo: si la pendiente

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ es, y un punto es (5.4), luego dibuja un punto hacia arriba (5.4), luego dibuja otros puntos a lo largo de la línea yendo cuatro a la izquierda y tres hacia abajo. Si dibuja una línea a través de los puntos, la línea debe intersecar el eje y justo arriba de la coordenada (0,0).

Método 4 de 4: determinar la intersección con el eje x, dada la pendiente y la intersección con el eje y

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$y = metro X + B$ $y=mx+b$ es la ecuación de una recta.
La intersección con el eje x es el punto donde la línea cruza el eje x.

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2. Aplicar la pendiente y la intersección con el eje y a la fórmula. Recuerda que la pendiente es igual a la elevación sobre la distancia horizontal. Si necesita ayuda para encontrar la pendiente, consulte las instrucciones anteriores.

Por ejemplo: la pendiente es

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , y la intersección con el eje y es

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ , por lo que la fórmula se verá así:

y = \frac{3}{4} X + \frac{1}{4}

${displaystyle y={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}}$ .

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3. Establecer y en 0.Estás buscando la intersección con el eje x, el punto donde la línea cruza el eje x. En este punto la coordenada y será cero. Entonces, si establecemos y en 0 y resolvemos para la coordenada x correspondiente, encontramos el punto (x, 0), que es la intersección con el eje x.

En el problema de ejemplo, la ecuación se convierte en

0 = \frac{3}{4} X + \frac{1}{4}

${displaystyle 0={frac{3}{4}}x+{frac{1}{4}}}$ .

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4. Completa la ecuación resolviendo para x. Primero resta la intersección con el eje y de ambos lados. Luego divide ambos lados por la pendiente.

En el problema de ejemplo, la ecuación se convierte en

- 1 4 = \frac{3}{4} X

${displaystyle {frac {-1}{4}}={frac {3}{4}}x}$ . Dividir ambos lados

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , y obtienes

- 4 12 = X

${displaystyle {frac{-4}{12}}=x}$ . Esto se simplifica a

- 1 3 = X

${displaystyle {frac{-1}{3}}=x}$ . Entonces la intersección con el eje x es

(- 1 3, 0)

${ estilo de visualización ({ frac {-1} {3}}, 0)}$ . Por lo tanto

- 1 3

${displaystyle {frac{-1}{3}}}$ .

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5. Revisa tu trabajo. Grafica la intersección con el eje y y luego dibuja una línea con la pendiente. Para encontrar la intersección con el eje x, encuentra el punto donde la línea interseca el eje x.

Por ejemplo: si la pendiente

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ es , y la intersección con el eje y

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , luego dibuja el punto

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , y luego dibuja otros puntos a lo largo de la línea contando 4 hacia la izquierda y 3 hacia abajo, y 3 hacia la derecha y 4 hacia arriba. Si dibuja una línea a través de los puntos, verá que la línea cruza el eje x justo a la izquierda de la coordenada (0,0).