Verificar el principio de incertidumbre de un oscilador armónico cuántico

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Pasos
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El oscilador armónico cuántico es la analogía cuántica del oscilador armónico simple clásico. Usando la solución del estado fundamental, tomamos la posición y los valores de impulso esperados, y verificamos el principio de incertidumbre con ellos.

Pasos

Parte 1 de 3: una solución de estado fundamental

1. Recuerda la ecuación de Schrödinger. Esta ecuación diferencial parcial es la ecuación fundamental de movimiento dentro de la mecánica cuántica y describe cómo un estado cuántico

ψ

$psi$ evoluciona con el tiempo.

\hat{eh}

${sombrero{H}}$ denota el hamiltoniano, el operador de energía que describe la energía total de un sistema.

$I ℏ \partial ψ \partial t = \hat{eh} ψ$ $ihbar {frac{parcial psi }{parcial t}}={hat{H}}psi$

2. Escriba el hamiltoniano para el oscilador armónico. Aunque las variables de posición y momento han sido reemplazadas por sus correspondientes operadores, la expresión todavía se asemeja a la de la energía cinética y potencial de un oscilador armónico clásico. Como estamos trabajando en el espacio físico, la posición del operador está dada por

\hat{X} = X,

${sombrero{x}}=x,$ mientras que el operador impulso viene dado por

\hat{pags} = - I ℏ \partial \partial X .

${hat{p}}=-ihbar {frac{parcial }{parcial x}}$

\hat{eh} = \hat{pags} 2 2 metro + \frac{1}{2} metro Ω^{2}^{\hat{X} 2}

${sombrero{H}}={frac{{sombrero{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {sombrero{x}}^{{2}}$

3. Escriba la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Vemos que el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, por lo que las soluciones de la ecuación serán estados inmutables. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una ecuación del valor propio, por lo que resolverla significa que encontramos los valores propios de la energía y sus funciones propias correspondientes, las funciones de onda.

- ℏ 2 2 metro D 2 ψ D X^{2} + \frac{1}{2} metro Ω^{2} X^{2} ψ = mi ψ

$-{frac{hbar ^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi$

4. Resolver la ecuación diferencial. Esta ecuación diferencial tiene coeficientes variables y no se puede resolver fácilmente con métodos simples. Sin embargo, después de la normalización, la solución del estado fundamental se puede escribir como:. Recuerde que esta solución solo describe un oscilador unidimensional.

ψ (X) = (metro Ω π ℏ) 1 / 4 Exp (- metro Ω 2 ℏ X^{2})

$psi (x)=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar }}x^{{2}}right)$

Esta es una Gaussiana, centrada en

X = 0.

$x=0$ Aprovechamos que esta función es par para simplificar nuestros cálculos en la siguiente parte.

Parte 2 de 3: Valores esperados

1. Recuerda la fórmula de la incertidumbre. La incertidumbre de un valor observable como una posición es matemáticamente igual a la desviación estándar. Es decir, determinamos el valor medio, restamos cada valor de la media, elevamos al cuadrado esos valores y calculamos la media, y luego restamos la raíz cuadrada del resultado.

$Σ X = \sqrt{sexo X} 2 sexo - sexo X {sexo}^{2}$ $sigma _{{x}}={sqrt{langle x^{{2}}rangle -langle xrangle ^{{2}}}}$

2. Determinar sexoXsexo{ estilo de visualización ángulo x ángulo} $ángulo xángulo$ . Como la función es par, podemos deducir de la simetría que

sexo X sexo = 0.

$lang xrangle =0$

Si escribes la integral que tenías que evaluar, ves que el integrando es una función impar, porque una función impar multiplicada por una función par es impar.

sexo X sexo = \int - \infty \infty X | ψ (X) |^{2} D X

$langle xrangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x|psi (x)|^{{2}}{mathrm{d}}x$

Una propiedad de una función impar es que por cada valor positivo de la función, hay un doppelganger, un valor negativo asociado, que cancela la función. Como tenemos todos los valores de

X

$X$ evaluar, sabemos que la integral se convierte en 0, sin tener que hacer los cálculos.

3. calcular sexoX2sexo{displaystyle langle x^{2}rangle } $langle x^{{2}}rangle$ . Como nuestra solución está escrita como una función de onda continua, usamos la siguiente integral. La integral describe el valor esperado para

X 2

$x^{{2}}$ , integrado en todo el espacio.

sexo X 2 sexo = \int_{- \infty}^{\infty} X^{2} | ψ (X) |^{2} D X

$langle x^{{2}}rangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x^{{2}}|psi (x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x$

4. Sustituya la función de onda en la integral y simplifique. Sabemos que la función de onda es par. El cuadrado de una función par también es par, por lo que podemos tomar un factor de 2 fuera del paréntesis y reducir el límite inferior a 0.

sexo X 2 sexo = 2 (^{metro Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} Exp (- metro Ω ℏ X^{2}) D X

$langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty }}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar }}x^{{2}}right){mathrm{d}} X$

5. Evaluar. Sé el primero en

α = metro Ω ℏ .

$alpha ={frac{momega }{hbar }}$ Entonces no integramos por parte, sino que usamos la función gamma.

\begin{matrix} sexo X \end{matrix} 2 sexo = 2 (^{metro Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} {mi}^{- α} X^{2} D X, Uds = α X^{2} = 2 (^{metro Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} \frac{Uds}{α} {mi}^{- Uds} D Uds 1 2 α X, X = \sqrt{\frac{Uds}{α}} = (^{metro Ω π ℏ) 1 / 2} α^{- 3 / 2} \int_{0}^{\infty} {Uds}^{1 / 2} {mi}^{- Uds} D Uds = (^{metro Ω π ℏ) 1 / 2} (^{metro Ω ℏ) - 3 / 2} Γ (\frac{3}{2}), Γ (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ metro Ω \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ 2 metro Ω

${begin{alineado}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty }}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int_{{ 0}}^{{infty}}{frac{u}{alpha }}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} , x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{ {1/2}}alpha ^{{-3/2}}int_{{0}}^{{infty}}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}left({frac{m omega }{hbar }}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right), Gamma left({frac{3 {2}}right)={frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi }}}}{frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{alineado }}$

6. Llegar a la incertidumbre en la posición. Usando la relación que resolvimos en el Paso 1 de esta sección, sigue

Σ X

$sigma _{{x}}$ inmediatamente de nuestros resultados.

Σ X = \sqrt{ℏ} 2 metro Ω

$sigma _{{x}}={sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}$

7. Determinar sexopagssexo{ estilo de visualización langle p rangle} $largo p rangle$ . Al igual que con la posición media, se puede hacer un argumento de simetría, lo que lleva a

sexo pags sexo = 0.

$langprangle =0$ .

8. calcular sexopags2sexo{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ . En lugar de aplicar directamente la función de onda para calcular este valor esperado, podemos usar la energía de la función de onda para simplificar los cálculos necesarios. La energía del estado fundamental del oscilador armónico se da a continuación.

mi 0 = \frac{1}{2} ℏ Ω

$E_{{0}}={frac{1}{2}}hbaromega$

9. Relacionar la energía del estado fundamental con la energía cinética y potencial de la partícula. Se espera que esta relación sea válida no solo para cada posición e impulso, sino también para sus valores esperados.

\frac{1}{2} ℏ Ω = sexo pags 2 sexo 2 metro + \frac{1}{2} metro Ω^{2} sexo X^{2} sexo

${frac{1}{2}}hbar omega ={frac{langle p^{{2}}rangle }{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}ángulo x^{{2}}ángulo$

10. Resolver sexopags2sexo{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ .

metro ℏ Ω = sexo pags 2 sexo + {metro}^{2} Ω^{2} ℏ 2 metro Ω

$mhbar omega =langle p^{{2}}rangle +m^{{2}}omega ^{{2}}{frac{hbar }{2momega }}$

sexo pags 2 sexo = metro ℏ Ω 2

$langle p^{{2}}rangle ={frac{mhbar omega }{2}}$

11. Llegar a la incertidumbre en la dinámica.

Σ pags = \sqrt{} metro ℏ Ω 2

$sigma _{{p}}={sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}$

Parte 3 de 3: Verificación de la relación de incertidumbre

1. Considere el principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el momento. La relación de incertidumbre es un límite fundamental a la precisión con la que podemos medir ciertos pares de datos observables, como la posición y el momento. Consulte los consejos para obtener más información sobre el principio de incertidumbre.

$Σ X Σ_{pags} \geq \frac{ℏ}{2}$ $sigma _{{x}}sigma _{{p}}geq {frac{hbar }{2}}$

2. Sustituir las incertidumbres del oscilador armónico cuántico.

\begin{matrix}  \end{matrix} \sqrt{ℏ} 2 metro Ω \sqrt{} metro ℏ Ω 2 \geq \frac{ℏ}{2} \frac{ℏ}{2} & \geq \frac{ℏ}{2}

${begin{alineado}{sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}&geq { frac{hbar }{2}}\{frac{hbar }{2}}&geq {frac{hbar }{2}}end{alineado}}$

Nuestros resultados están en línea con el principio de incertidumbre. De hecho, esta relación solo logra la igualdad del estado fundamental: suponiendo un estado de mayor energía, la incertidumbre de la posición y el impulso solo aumenta.

Consejos

Hay dos formas en las que podemos explicar la pregunta de por qué existe la relación de incertidumbre.

De la mecánica ondulatoria, las expresiones de la función de onda en términos de posición y dinámica son transformadas de Fourier entre sí. Una propiedad de la transformada de Fourier es que una función y su transformada de Fourier no están localizadas inequívocamente.
Un ejemplo simple es la transformada de Fourier de la función rectangular. A medida que el ancho de la función disminuye (se vuelve más localizado), la transformada de Fourier (una curva sinusoidal) se vuelve más y más plana. Un ejemplo extremo es la función delta de Dirac, donde el ancho es infinitesimal (localidad perfecta). La transformada de Fourier es una constante (incertidumbre infinita).
La otra forma de verlo es desde la mecánica matricial. Los operadores de posición y momento tienen una relación de conmutación distinta de cero. Si dos operadores conmutan, entonces su relación de conmutación sería cero, como lo indican los paréntesis a continuación.

$[\hat{X}, \hat{pags}] = \hat{X} \hat{pags} - \hat{pags} \hat{X} = I ℏ$ $[{sombrero{x}},{sombrero{p}}]={sombrero{x}}{sombrero{p}}-{sombrero{p}}{sombrero{x}}=i hbar$

Resulta que esta relación de conmutación debe implicar un principio de incertidumbre fundamental. Cuando un operador

\hat{X}

${ sombrero {x}}$ actúa sobre un estado, entonces la función de onda colapsa al estado propio de

\hat{X}

${ sombrero {x}}$ con un valor de medición único (el valor propio). Sin embargo, el estado propio de

\hat{X}

${ sombrero {x}}$ no tiene que ser un estado propio de otro operador

\hat{pags} .

${sombrero{p}}$ Si ese es el caso, entonces no hay una medida única para los datos observables

pags,

$pags,$ lo que significa que el estado solo se puede escribir como una combinación lineal de estados propios basados en el momento. (Cuando dos operadores se desplazan, tienen en común un conjunto simultáneo de estados propios (también llamados degeneración) y los dos datos observables se pueden medir simultáneamente con una precisión arbitraria. Este es siempre el caso con la mecánica clásica.)

Esta es la fuente del principio de incertidumbre. No es debido a las limitaciones de nuestros instrumentos que no podemos medir la posición y el momento de una partícula con una precisión arbitraria. Más bien, es una propiedad fundamental de las propias partículas.