Aprende a dividir cuadrados: 8 pasos

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Pasos
Consejos

Una de las habilidades más importantes para los estudiantes de matemáticas es la fórmula abc, o $X = - B \pm \sqrt{B} 2 - 4 a C 2 a .$ $x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ Usando la fórmula abc, resolviendo una ecuación cuadrática de la forma $a X 2 + B X + C = 0$ $hacha^{{2}}+bx+c=0$ una simple cuestión de sustituir los coeficientes $a, B, C$ $A B C$ en la fórmula. Si bien el simple hecho de conocer la fórmula suele ser suficiente para muchos, es comprender cómo se deriva (en otras palabras, de dónde viene) algo completamente diferente. La fórmula se obtiene a través de `tomar posición de ataque` que también tiene otras aplicaciones dentro de las matemáticas, por lo que es aconsejable que esté familiarizado con él.

Pasos

1. Comience con la forma estándar de una ecuación cuadrática general. Aunque cualquier comparación con un término como

X 2

$x^{{2}}$ in, es cuadrático, la forma estándar pone todo a cero. Recuérdalo

a, B, C

$A B C$ son coeficientes que pueden ser cualquier número entero, por lo que ahora no puede completar los números de las variables; queremos trabajar con la forma general.

$a X 2 + B X + C = 0$ $hacha^{{2}}+bx+c=0$
La única condición es que $a \neq 0$ $aneq 0$ , de lo contrario, la ecuación se simplifica a una ecuación lineal. Vea si puede encontrar soluciones generales para casos especiales donde $B = 0$ $b=0$ y $C = 0$ $c=0$ .

2. jalar C{ estilo de visualización c} $C$ fuera de ambos lados. Nuestro objetivo es aislar

X

$X$ . Comenzamos moviendo uno de los coeficientes al otro lado para que el lado izquierdo consista solo de términos con

X

$X$ .

a X 2 + B X = - C

$hacha^{{2}}+bx=-c$

3. Dividir ambos lados a{ estilo de visualización a} $a$ . Tenga en cuenta que podríamos haberlos intercambiado en el paso anterior y obtener la misma respuesta. Recuerda que dividir un polinomio por algo implica dividir cada uno de sus términos individuales. Esto hace que sea más fácil dividir el cuadrado.

X 2 + \frac{B}{a} X = - C a

$x^{{2}}+{frac{b}{a}}x={frac{-c}{a}}$

4.dividir el cuadrado. Recuerda que el objetivo es crear una expresión

X 2 + 2 ◻ X + ◻^{2}

$x^{{2}}+2Cuadro x+Cuadro ^{{2}}$ reescribir como

(X + ◻) 2,

$(x+Cuadro)^{{2}},$ por lo cual

◻

$Caja$ es un coeficiente. Es posible que esto no te quede claro de inmediato. Para que quede más claro, reescribe

\frac{B}{a} X

${frac{b}{a}}x$ Si

2 B 2 a X

$2{frac{b}{2a}}x$ multiplicando el término por

\frac{2}{2} .

${frac{2}{2}}$ Podemos hacer esto porque multiplicar por 1 no cambia nada. Ahora podemos ver claramente en nuestro caso que

◻ = B 2 a,

$Box ={frac{b}{2a}},$ , entonces solo falta el termino

◻ 2

$Cuadro ^{{2}}$ . Por lo tanto, para dividir el cuadrado, lo sumamos en ambos lados, a saber,

(B 2 a) 2 = B 2 4 a 2 .

$left({frac{b}{2a}}right)^{{2}}={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ Y luego, por supuesto, podemos factorizar.

\begin{matrix} X \end{matrix} 2 + 2 B 2 a X + B 2 4 a 2 = B 2 4 a 2 - \frac{C}{a} (^{X + B 2 a) 2} & = B 2 4 a 2 - \frac{C}{a}

${begin{alineado}x^{{2}}+2{frac{b}{2a}}x+{frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}& ={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}\left(x+{frac{b}{2a}} right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}end{alineado} }$

Está claro aquí por qué

a \neq 0

$aneq 0$ , porque

a

$a$ está en el denominador y no se puede dividir por cero.

Si lo necesita, puede extender el lado izquierdo para asegurarse de que el cuadrado funcione.

5. Escribe el lado derecho bajo un denominador común. Queremos que ambos denominadores sean

4 a 2

$4a^{{2}}$ son, así que multiplica el término

- C a

${frac{-c}{a}}$ de

4 a 4 a

${frac{4a}{4a}}$ .

\begin{matrix}  \end{matrix} (X + B 2 a) 2 = B 2 4 a 2 - 4 a C 4 a 2 = B 2 - 4 a C 4 a 2

${begin{alineado}left(x+{frac{b}{2a}}right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2 }}}}-{frac{4ac}{4a^{{2}}}}\&={frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}} end{alineado}}$

6. Calcular la raíz cuadrada de ambos lados. Sin embargo, es esencial que comprenda que al hacer esto esencialmente está dando dos pasos. Cuando sacas la raíz cuadrada de

D 2

$d^{{2}}$ , entonces obtienes

D

$D$ no. Básicamente obtienes el valor absoluto,

| D |

$|d|$ . Este valor absoluto es esencial para obtener ambas raíces: simplemente colocar raíces cuadradas sobre ambos lados solo producirá una de las raíces.

| X + B 2 a | = \sqrt{} B 2 - 4 a C 4 a 2

$left|x+{frac{b}{2a}}right|={sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Ahora podemos deshacernos de los signos de valor absoluto, por

\pm

$pm$ colocar a la derecha. Podemos hacer esto porque el valor absoluto no distingue entre números positivos y negativos, por lo que ambos son válidos. Este detalle es el por qué la ecuación cuadrática permite obtener dos raíces como resultado.

X + B 2 a = \pm \sqrt{} B 2 - 4 a C 4 a 2

$x+{frac{b}{2a}}=pm {sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Simplifiquemos un poco más esta expresión. Como la raíz cuadrada de un cociente es el cociente de las raíces cuadradas, podemos escribir el lado derecho como

\pm \sqrt{B} 2 - 4 a C \sqrt{4 a^{2}} .

${frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{{sqrt{4a^{{2}}}}}}$ Entonces podemos sacar la raíz cuadrada del denominador.

X + B 2 a = \pm \sqrt{B} 2 - 4 a C 2 a

$x+{frac{b}{2a}}={frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

7. aislar X{ estilo de visualización x} $X$ restando

B2a{displaystyle {frac {b}{2a}}} ${frac{b}{2a}}$ a ambos lados.

X = - B 2 a \pm \sqrt{B} 2 - 4 a C 2 a

$x={frac{-b}{2a}}pm {frac{{sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

8. Escribe el lado derecho bajo un denominador común. Esto no es como la fórmula abc, la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma estándar. Esto funciona para cualquier

a, B, C

$A B C$ y da

X

$X$ como resultado, que puede ser un número real o complejo. Para verificar que este proceso funciona, simplemente siga los pasos de este artículo en orden inverso para volver al formulario predeterminado.

X = - B \pm \sqrt{B} 2 - 4 a C 2 a

$x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

Consejos

Es interesante notar que la fórmula abc también se aplica a coeficientes complejos, aunque tienes que simplificar un poco más para obtener la respuesta final, y las raíces no son pares conjugados. Sin embargo, los problemas con expresiones cuadráticas casi siempre se dan con coeficientes reales.