Simplificar fracciones apiladas: 9 pasos (con fotos)

Contenido

Pasos
- Método 1 de 2: simplificación de fracciones apiladas con multiplicación inversa
- Método 2 de 2: simplificar fracciones apiladas con términos variables
Consejos

Las fracciones apiladas son aquellas en las que el numerador, el denominador o ambos contienen fracciones. Por esta razón también podría llamar a esto `fracciones en fracciones`. La simplificación de fracciones apiladas es un proceso que puede variar de fácil a difícil según la cantidad de términos presentes en el numerador y el denominador, si alguno de los términos es variable y, de ser así, la complejidad de los términos variables. Vea el paso 1 a continuación para comenzar!

Pasos

Método 1 de 2: simplificación de fracciones apiladas con multiplicación inversa

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 1$

1. Si es necesario, simplifica el numerador y el denominador a unas pocas fracciones. Las fracciones apiladas no son necesariamente difíciles de resolver. De hecho, las fracciones apiladas en las que el numerador y el denominador contienen una sola fracción suelen ser bastante fáciles de resolver. Entonces, si el numerador o el denominador de su fracción apilada (o ambos) contiene múltiples fracciones o fracciones y números enteros, simplifique como desee para obtener una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador. Esto puede requerir el mínimo común múltiplo (mcm) encontrar dos o más fracciones.

Supongamos que queremos simplificar la fracción compleja (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Primero podemos simplificar tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción compleja a fracciones simples.

Para simplificar el numerador, tomemos un LCF de 15, multiplicando 3/5 por 3/3. Nuestro contador se convierte en 9/15 + 2/15, lo que equivale a 11/15.
Para simplificar el denominador, tomemos mcm de 70, al multiplicar 5/7 por 10/10 y 3/10 por 7/7. Nuestro denominador será 50/70 - 21/70, que es igual a 29/70.
Así que nuestra nueva fracción apilada es (15/11)/(29/70).

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 2$

2. Voltear el denominador y encontrar el inverso. Por definición, partes de un número a otro igual que el multiplicar el primer número por el recíproco del segundo número. Ahora que hemos obtenido una fracción apilada con una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador, podemos usar esta propiedad de división para simplificar nuestra fracción apilada! Primero encuentre el recíproco del denominador de la fracción apilada. Haz esto `invirtiendo` la fracción: el numerador reemplaza al denominador y viceversa.

En nuestro ejemplo, el denominador de la fracción apilada (11/15)/(29/70) es la fracción 29/70. Para encontrar el inverso lo invertimos y la fracción se convierte en 70/29.

Tenga en cuenta que, si la fracción apilada tiene un número entero en el denominador, puede tratarla como una fracción y aun así encontrar su inversa. Por ejemplo, supongamos que la fracción apilada fuera (11/15)/(29), entonces podemos definir el denominador como 29/1, con el recíproco 1/29.

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 3$

3. Multiplica el numerador de la fracción apilada por el recíproco del denominador. Ahora que obtuviste el recíproco del denominador de tu fracción apilada, multiplícalo por el numerador para obtener una sola fracción simple! Recuerda que para multiplicar dos fracciones, no multiplicamos en cruz: el numerador de la nueva fracción es el producto del numerador de las dos anteriores, y también lo es el denominador.

En nuestro ejemplo multiplicamos 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 y 15 × 29 = 435. Así es nuestra nueva fracción simple 770/435.

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 4$

4. Simplifica la nueva fracción encontrando el máximo común divisor. Ahora tenemos una fracción única y simple, por lo que todo lo que queda es representarla en los términos más simples posibles. Especial máximo común divisor (mcd) del numerador y el denominador y dividir ambos por este número para simplificar.

Un divisor común de 770 y 435 es 5. Entonces, si dividimos el numerador y el denominador de nuestra fracción por 5, obtenemos 154/87. 154 y 87 no tienen factores comunes, así que sabemos que hemos encontrado la respuesta final!

Método 2 de 2: simplificar fracciones apiladas con términos variables

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 5$

1. Siempre que sea posible, use el método de multiplicación inversa como se describe arriba. Para ser claros, casi cualquier fracción apilada se puede simplificar reduciendo el numerador y el denominador a fracciones simples y multiplicando el numerador por el recíproco del denominador. Las fracciones apiladas de variables no son una excepción, pero cuanto más complicadas son las expresiones variables en la fracción apilada, más difícil y lento es realizar la multiplicación inversa. Para fracciones apiladas `simples` con variables, la multiplicación por el inverso es una buena opción, pero las fracciones apiladas con múltiples términos variables en el numerador y el denominador pueden ser más fáciles de simplificar usando el método alternativo que se describe a continuación.

Por ejemplo: (1/x)/(x/6) es fácil de simplificar con la multiplicación inversa. 1/x × 6/x = `6/x. No es necesario utilizar un método alternativo.
Sin embargo, la fracción (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) es más difícil de simplificar con la multiplicación inversa. Reducir el numerador y el denominador de esta fracción apilada a fracciones simples, multiplicar inversamente y reducir el resultado a los términos más simples, es probablemente un proceso complicado. En este caso, el método alternativo a continuación puede ser más fácil.

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 6$

2. Si la multiplicación inversa no es práctica, comience por encontrar el mínimo común divisor de los términos de división en la fracción apilada. El primer paso en este método alternativo de simplificación es encontrar el kgd de todos los términos fraccionarios en la fracción apilada, tanto en el numerador como en el denominador. Si uno o más de los términos fraccionarios tienen variables en sus denominadores, el kgd es simplemente el producto de sus denominadores.

Esto es más fácil de entender con un ejemplo. Intentemos simplificar la fracción apilada que mencionamos anteriormente, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Los términos fraccionarios en esta fracción compuesta son (1)/(x+3) y (1)/(x-5). El común denominador de estas dos fracciones es el producto de sus denominadores: (x+3)(x-5).

$Imagen titulada Simplifica fracciones complejas Paso 7$

3. Multiplique el numerador de la fracción apilada por el kgd que acaba de encontrar. Luego, necesitamos multiplicar los términos en nuestra fracción apilada por el kgd de sus términos de fracción. En otras palabras, multiplicaremos toda la fracción apilada por (kgd)/(kgd). Podemos hacer esto simplemente porque (kgd)/(kgd) es igual a 1. Primero multiplica el numerador por si mismo.

En nuestro ejemplo, multiplicamos la fracción apilada (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), por ((x+ 3 )(x-5))/((x+3)(x-5)). Tendremos que multiplicar por el numerador y el denominador de la fracción apilada, multiplicando cada término por (x+3)(x-5).

Primero multipliquemos el numerador: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)

= (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))

= (x-5) + (x(x - 2x - 15)) - (10(x - 2x - 15))

= (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)

= (x-5) + x - 12x + 5x + 150

= x - 12x + 6x + 145

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 8$

4. Multiplica el denominador de la fracción apilada por kgd como hiciste con el numerador. Multiplica la fracción apilada por los kgd que encontraste yendo al denominador. Multiplica cada término por el kgd.

El denominador de nuestra fracción apilada, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), es x +4 +(( 1)/(x-5)). Vamos a multiplicar esto por los kgd que encontramos, (x+3)(x-5).

(x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)

= x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).

= x(x - 2x - 15) + 4(x - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)

= x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x+3)

= x + 2x - 23x - 60 + (x+3)

= x + 2x - 22x - 57

$Imagen titulada Simplificar fracciones complejas Paso 9$

5. Forme una nueva fracción simplificada a partir del numerador y el denominador que acaba de encontrar. Después de multiplicar su fracción por su expresión (kgd)/(kgd) y simplificarla tachando los términos semejantes, debe quedar con una fracción simple que no contiene términos fraccionarios. Como habrás notado, los denominadores de estas fracciones se anulan entre sí (multiplicando las fracciones en la fracción apilada original por kgd), dejando términos variables y enteros en el numerador y el denominador de tu respuesta, pero no fracciones.

Usando el numerador y el denominador que encontramos arriba, podemos construir una fracción que sea igual a nuestra fracción apilada inicial, pero que no contenga fracciones. El numerador que obtuvimos fue x - 12x + 6x + 145 y el denominador fue x + 2x - 22x - 57, por lo que la nueva fracción es: (x - 12x + 6x + 145)/(x + 2x - 22x - 57)

Consejos

Muestra cada paso de tu trabajo. Las fracciones pueden ser confusas si quieres ir demasiado rápido o tratar de quitártelas de la cabeza.
Busque ejemplos de fracciones apiladas en línea o en su libro de texto. Sigue cada paso hasta que lo domines.