Compartir matrices (con imágenes)

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Pasos
Consejos
Advertencias

Si sabe cómo multiplicar dos matrices entre sí, entonces está bien encaminado para poder `dividir` una matriz por otra matriz. La división está entre comillas porque las matrices técnicamente no se pueden dividir. En su lugar, multiplicamos la matriz uno por el inverso de otra matriz. Estos cálculos se utilizan a menudo para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Pasos

Parte 1 de 3: Comprende que `compartir` es imposible

1. Entender lo que significa `compartir` una matriz. Técnicamente no existe tal cosa como la división de matrices. Dividir matrices no es una función definida. Lo más parecido es multiplicar por la inversa de otra matriz. En otras palabras, aunque [A] ÷ [B] no está definido, puedes resolver el problema [A] * [B]. Dado que estas dos ecuaciones son equivalentes a escalares, esto "se siente" como una división de matriz, pero es importante usar la terminología correcta.

Tenga en cuenta que [A] * [B] y [B] * [A] no son el mismo problema. Puede que tengas que resolver ambos para encontrar todas las respuestas posibles.
Por ejemplo, en lugar de $(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) \div (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}13 y 26\39 y 13end{pmatrix}}div {begin{pmatrix}7 y 4\2 y 3end{pmatrix}}$ , escribir $(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) *^{(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}) - 1}$ ${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{-1}}$ .
tal vez tú también deberías $(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}) - 1 * (\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{{-1}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}$ calcular, lo que puede dar solo una respuesta diferente.

2. Verifique que el cuadrado `divisor-matriz` sea. Para poder determinar la inversa de una matriz, debe ser una matriz cuadrada, es decir con el mismo número de filas y columnas. Si la matriz de la que desea encontrar el inverso no es una matriz cuadrada, entonces no hay una solución única para el problema.

El término `matriz divisoria` es un poco impreciso, porque en realidad no se trata de un problema de división. Para [A] * [B], esto se refiere a la matriz [B]. En nuestro ejemplo esto es

(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})

${begin{pmatrix}7 y 4\2 y 3end{pmatrix}}$ .

Una matriz con una inversa se llama `invertible` o `no singular.` Las matrices sin inversa son `singulares.`

3. Compruebe si las dos matrices se pueden multiplicar juntas. Para multiplicar dos matrices juntas, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda matriz. Si esto no funciona en ambos casos ([A] * [B] o [B] * [A]), no hay solución al problema.

Por ejemplo, si [A] es una matriz de 4 x 3 (4 filas, 3 columnas) y [B] es una matriz de 2 x 2 (2 filas, 2 columnas), entonces no hay solución. [A] * [B] no funciona porque 3 ≠ 2, y [B] * [A] no funciona porque 2 ≠ 4.

Sepa que la inversa [B] siempre tiene el mismo número de filas y columnas que la matriz original [B]. No es necesario calcular la inversa para completar este paso.

En nuestro problema de ejemplo, ambas matrices son 2 x 2, por lo que pueden multiplicarse en cualquier orden.

4. Determinar el determinante de una matriz de 2 x 2. Hay una verificación más requerida antes de que pueda determinar el inverso de una matriz. El determinante de la matriz no puede ser cero. Si el determinante es cero, entonces la matriz no tiene inversa. He aquí cómo determinar el determinante en el caso más simple (la matriz de 2 x 2):

matriz 2×2: el determinante de la matriz

(\begin{matrix} a & B \\ C & D \end{matrix})

${begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}$ es anuncio - bc. En otras palabras, tome el producto de la diagonal principal (arriba a la izquierda a abajo a la derecha), luego reste el producto de la antidiagonal (arriba a la derecha a abajo a la izquierda) de allí.

Por ejemplo, la matriz

(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})

${begin{pmatrix}7 y 4\2 y 3end{pmatrix}}$ tiene el determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Esto no es cero, por lo que es posible determinar el inverso.

5. Determinar el determinante de una matriz más grande. Si su matriz es de 3 x 3 o más grande, entonces se necesita más trabajo para determinar el determinante:

matriz 3x3: Elija un elemento y cruce la fila y la columna a la que pertenece. Determine el determinante de la matriz restante de 2 x 2, multiplíquelo por el elemento elegido y mantenga una tabla de signos de matriz para determinar el signo. Repita para los otros dos elementos en la misma fila y columna que el primero que eligió, luego sume los tres determinantes juntos. Lee este artículo para obtener instrucciones paso a paso y consejos para hacerlo más rápido.

Matrices más grandes: Aquí se recomienda el uso de una calculadora gráfica o software. El método es similar al de una matriz de 3 x 3, pero lleva mucho tiempo si lo haces a mano. Por ejemplo, para encontrar el determinante de una matriz de 4 x 4, primero debe encontrar los determinantes de cuatro matrices de 3 x 3.

6. Continuar. Si tu matriz no es un cuadrado, o si su determinante es cero, escríbelo como `no hay solución única`. El problema esta resuelto. Si la matriz es un cuadrado y su determinante no es cero, pase a la siguiente parte para el siguiente paso: encontrar la inversa.

Parte 2 de 3: invertir la matriz

1. Intercambiar las posiciones de los elementos de la diagonal principal de 2 x 2. Si está tratando con una matriz de 2 x 2, puede usar un atajo para hacer este cálculo mucho más fácil. El primer paso de esta solución rápida consiste en intercambiar el elemento superior izquierdo con el elemento inferior derecho. Por ejemplo:

$(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}7 y 4\2 y 3end{pmatrix}}$ → $(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 7 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}3 y 4\2 y 7end{pmatrix}}$
Observación: La mayoría de las personas usan una calculadora para determinar el inverso de una matriz de 3 x 3 (o más grande). Si aún desea calcular esto a mano, mire al final de esta parte.

2. Tome el opuesto de los otros dos elementos pero déjelos en esa posición. En otras palabras, multiplicar la parte superior juez y fondo izquierda-elementos con-1:

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 7 \end{matrix})

${begin{pmatrix}3 y 4\2 y 7end{pmatrix}}$ →

(\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 2 & 7 \end{matrix})

${begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}$

3. Toma el recíproco del determinante. Has encontrado el determinante de esta matriz en la sección anterior, así que no hay necesidad de calcularlo de nuevo. Solo escribe el recíproco de 1/(determinante):

En nuestro ejemplo, el determinante es 13. El recíproco de esto es

\frac{1}{13}

${frac{1}{13}}$ .

4. Multiplica la nueva matriz por el recíproco del determinante. Multiplique cada elemento de la nueva matriz por el recíproco que acaba de encontrar. La matriz resultante es la inversa de la matriz 2 x 2:

\frac{1}{13} * (\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 2 & 7 \end{matrix})

${frac{1}{13}}*{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}$
=

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{matrix}}$

5. Confirma que el inverso es correcto. Para comprobar tu trabajo, multiplica la inversa por la matriz original. Si la inversa es correcta, entonces su producto siempre es la identidad de la matriz,

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

${begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}$ Si es matemáticamente correcto, continúe con la siguiente sección para completar la elaboración del problema.

Para el propósito del problema de ejemplo, multiplicamos

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13}) * (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix }}$ .

Consulte wikihow para obtener más información sobre la multiplicación de matrices.

Nota: La multiplicación de matrices no es conmutativa: el orden de los factores importa. Al multiplicar una matriz por su inversa, ambas darán como resultado la matriz identidad.

6.Determine la inversión de matriz de una matriz de 3 x 3 o más grande. A menos que sea nuevo en este proceso, puede ahorrarse mucho tiempo utilizando una calculadora gráfica o un software matemático en matrices más grandes. Si necesita calcularlo a mano, aquí hay un resumen rápido de un método que puede usar:

Agregue la matriz de identidad I al lado derecho de su matriz. Por ejemplo, [B] → [B | I ]. La matriz de identidad tiene elementos `1` a lo largo de la diagonal principal y elementos `0` en todas las demás posiciones.

Realice operaciones de fila para reducir la matriz hasta que el lado izquierdo esté en forma escalonada de fila, luego continúe reduciendo hasta que el lado izquierdo sea la matriz identidad.

Cuando se completa toda la operación, su matriz tiene la forma [I | B]. En otras palabras, el lado derecho se convierte en el inverso de la matriz original.

Parte 3 de 3: multiplica las matrices para completar el problema

1. Escribe las dos ecuaciones posibles. En las "matemáticas ordinarias" con escalares, la multiplicación es conmutativa; 2x6 = 6x2. Esto no se aplica a las matrices, por lo que es posible que deba resolver dos problemas:

[A] * [B] es la solución X por problema X[B] = [A].
[B] * [A] es la solución X para el problema [B]X = [A].
Si esto es parte de una ecuación, asegúrese de aplicar la misma operación a ambos lados de la ecuación. Si [A] = [C], entonces [B][A] es no igual a [C][B], porque [B] está a la izquierda de [A], pero a la derecha de [C].

2. Determine las dimensiones de su respuesta. Las dimensiones de la matriz final son las dimensiones exteriores de los dos factores. Tiene el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz.

Volviendo al ejemplo original: ambos

(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix})

${begin{pmatrix}13 y 26\39 y 13end{pmatrix}}$ y

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{matrix}}$ son matrices de 2 x 2, por lo que las dimensiones de la respuesta también son de 2 x 2.

Para tomar un ejemplo un poco más complicado: si [A] es un 4 x es una matriz de 3 y [B] es una de 3 x 3 matriz, entonces la matriz [A] * [B] tiene dimensiones 4 x 3.

3. Determinar el valor del primer elemento. Consulte el artículo vinculado para obtener instrucciones detalladas o actualice sus conocimientos con este resumen:

Para encontrar la fila 1, columna 1 de [A][B], encuentre el producto escalar de [A] fila 1 y [B] columna 1. Entonces, para una matriz de 2 x 2, calculas

a 1, 1 * B_{1, 1} + a_{1, 2} * B_{2, 1}

$a_{{1,1}}*b_{{1,1}}+a_{{1,2}}*b_{{2,1}}$ .

En nuestro ejemplo

(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) * (\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13})

${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}$ , es la fila 1 columna 1 de su respuesta:

(13 * \frac{3}{13}) + (26 * - 2 13)

$(13*{frac{3}{13}})+(26*{frac{-2}{13}})$

= 3 + - 4

$=3+-4$

= - 1

$=-1$

4. Calcule el producto escalar para cada posición en su matriz. Por ejemplo, el elemento en la posición 2.1 es el producto punto de [A] fila 2 y [B] columna 1. Intenta resolver el ejemplo tú mismo. Debería obtener las siguientes respuestas:

(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) * (\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13}) = (\begin{matrix} - 1 & 10 \\ 7 & - 5 \end{matrix})

${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&10\7&-5end {matrix}}$

Y la otra solución:

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13}) * (\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 & 2 \\ 19 & 3 \end{matrix})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\19&3end{ pmmatriz}}$

Consejos

Puede dividir una matriz por un escalar, dividiendo cada elemento de la matriz por el escalar.

Por ejemplo, la matriz $(\begin{matrix} 6 & 8 \\ 2 & 4 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}6 y 8\2 y 4end{pmatrix}}$ dividido por 2 = $(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}3 y 4\1 y 2end{pmatrix}}$

Advertencias

Las calculadoras no siempre son 100% precisas en matemáticas matriciales. Por ejemplo, si su calculadora indica que un elemento tiene un valor muy pequeño (por ejemplo,. 2E), entonces el valor es probablemente cero.