Resolver matrices (con imágenes)

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Pasos
Consejos

Una matriz es una forma muy útil de representar números en formato de bloque, que luego puedes usar para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si solo tiene dos variables, probablemente usará un método diferente. Lea sobre esto en Resolver un sistema de ecuaciones para ver ejemplos de estos otros métodos. Pero si tienes tres o más variables, una matriz es ideal. Mediante el uso de combinaciones repetidas de multiplicación y suma, puede llegar sistemáticamente a una solución.

Pasos

Parte 1 de 4: elaboración de la matriz

1. Verifica que tienes suficientes datos. Para obtener una solución única para cada variable en un sistema lineal utilizando una matriz, debe tener tantas ecuaciones como el número de variables que está tratando de resolver. Por ejemplo: con las variables x, y y z necesitas tres ecuaciones. Si tienes cuatro variables, necesitas cuatro ecuaciones.

Si tiene menos ecuaciones que el número de variables, aprenderá algunos límites de las variables (como x = 3y e y = 2z), pero no podrá obtener una solución precisa. Para este artículo solo trabajaremos hacia una solución única.

2. Escribe tus ecuaciones en forma estándar. Antes de que pueda verter datos de las ecuaciones en forma de matriz, primero escriba cada ecuación en forma estándar. La forma estándar de una ecuación lineal es Ax+By+Cz=D, donde las letras mayúsculas son los coeficientes (números) y el último número (en este ejemplo, la D) está a la derecha del signo igual.

Si tiene más variables, simplemente continúe la línea todo el tiempo que sea necesario. Por ejemplo, si estuviera tratando de resolver un sistema de seis variables, su forma estándar sería Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz=G. En este artículo nos centraremos en los sistemas con solo tres variables. Resolver un sistema más grande es exactamente lo mismo, pero requiere más tiempo y más pasos.

Tenga en cuenta que en forma estándar las operaciones entre los términos es siempre una suma. Si hay una resta en tu ecuación, en lugar de una suma, tendrás que trabajar con esto más tarde haciendo que tu coeficiente sea negativo. Para que esto sea más fácil de recordar, puede reescribir la ecuación y sumar la operación y hacer que el coeficiente sea negativo. Por ejemplo, puede reescribir la ecuación 3x-2y+4z=1 como 3x+(-2y)+4z=1.

3. Colocar los números del sistema de ecuaciones en una matriz. Una matriz es un conjunto de números, ordenados en una especie de tabla, con los que trabajaremos para resolver el sistema. Básicamente contiene los mismos datos que las propias ecuaciones, pero en un formato más simple. Para hacer la matriz de sus ecuaciones en forma estándar, simplemente copie los coeficientes y el resultado de cada ecuación en una sola fila y apile esas filas una encima de la otra.

Suponga que tiene un sistema que consta de las tres ecuaciones 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 y x+y+z=7. La fila superior de su matriz contendrá los números 3, 1, -1, 9, ya que estos son los coeficientes y la solución de la primera ecuación. Tenga en cuenta que cualquier variable que no tenga un coeficiente se supone que tiene un coeficiente de 1. La segunda fila de la matriz se convierte en 2, -2, 1, -3 y la tercera fila en 1, 1, 1, 7.

Asegúrese de alinear los coeficientes x en la primera columna, los coeficientes y en la segunda, los coeficientes z en la tercera y los términos de solución en la cuarta. Cuando haya terminado de trabajar con la matriz, estas columnas serán importantes al escribir su solución.

4. Dibuja un gran corchete alrededor de toda tu matriz. Por convención, una matriz se denota con un par de corchetes, [], alrededor de todo el bloque de números. Los paréntesis no afectan la solución de ninguna manera, pero indican que estás trabajando con matrices. Una matriz puede constar de cualquier número de filas y columnas. En este artículo usaremos paréntesis alrededor de una fila de términos para indicar que pertenecen juntos.

5. Uso de simbolismo común. Cuando se trabaja con matrices es común referirse a las filas con la abreviatura R y a las columnas con la abreviatura C. Puede usar números junto con estas letras para designar una fila o columna específica. Por ejemplo, para indicar la fila 1 de una matriz, puede escribir R1. La fila 2 luego se convierte en R2.

Puede indicar cualquier posición específica en una matriz usando una combinación de R y C. Por ejemplo, para indicar un término en la segunda fila, tercera columna, podría llamarlo R2C3.

Parte 2 de 4: Aprender las operaciones para resolver un sistema con una matriz

1. Comprender la forma de la matriz de solución. Antes de comenzar a resolver su sistema de ecuaciones, debe comprender lo que va a hacer con la matriz. En este punto tienes una matriz que se ve así:

31-19
2-21-3
1117
Trabaja con una serie de operaciones básicas para crear la `matriz de solución`. La matriz de solución se verá así:
100x
010y
001z
Tenga en cuenta que la matriz consta de 1 en una línea diagonal con 0 en todos los demás espacios excepto en la cuarta columna. Los números en la cuarta columna son las soluciones para las variables x, y y z.

2. Usa la multiplicación escalar. La primera herramienta a tu disposición para resolver un sistema usando una matriz es la multiplicación escalar. Este es simplemente un término que significa que multiplicas los elementos en una fila de la matriz por un número constante (no una variable). Al usar la multiplicación escalar, tenga en cuenta que debe multiplicar cada término de la secuencia completa por el número que seleccione. Si olvidas el primer término y solo multiplicas, obtendrás una solución incorrecta. Sin embargo, no tienes que multiplicar toda la matriz al mismo tiempo. Con la multiplicación escalar solo trabajas en una fila a la vez.

Es común usar fracciones en la multiplicación escalar porque a menudo desea obtener una fila diagonal de 1. Acostúmbrate a trabajar con fracciones. También será más fácil (para la mayoría de los pasos en la resolución de la matriz) poder escribir sus fracciones en forma impropia, luego convertirlas nuevamente en números mixtos para la solución final. Por eso es más fácil trabajar con el número 1 2/3 si lo escribes como 5/3.

Por ejemplo, la primera fila (R1) de nuestro problema de ejemplo comienza con los términos [3.1,-1,9]. La matriz de solución debe contener un 1 en la primera posición de la primera fila. Para `convertir` el 3 en un 1, podemos multiplicar toda la fila por 1/3. Esto crea el nuevo R1 de [1.1/3,-1/3.3].

Asegúrate de dejar cualquier signo negativo donde corresponda.

3. Usar suma de filas o resta de filas. La segunda herramienta que puede usar es sumar o restar dos filas de la matriz. Para crear los términos 0 en su matriz de solución, necesita sumar o restar números para llegar al 0. Por ejemplo, si R1 de una matriz es [1,4,3,2] y R2 es [1,3,5,8], entonces puede restar la primera fila de la segunda fila y crear una nueva fila [ 0,-1, 2,6], porque 1-1=0 (primera columna), 3-4=-1 (segunda columna), 5-3=2 (tercera columna) y 8-2=6 (cuarta columna). Al realizar una suma o resta de fila, reescribe tu nuevo resultado en lugar de la fila con la que comenzaste. En este caso sacaríamos la fila 2 e insertaríamos la nueva fila [0,-1,2,6].

Puede usar notación abreviada y declarar esta operación como R2-R1=[0,-1,2,6].

Recuerda que la suma y la resta son formas opuestas de la misma operación. Puedes pensar en ello como sumar dos números o restar el opuesto. Por ejemplo, si comienza con la ecuación simple 3-3=0, puede pensar en esto como un problema de suma de 3+(-3)=0. El resultado es el mismo. Esto parece simple, pero a veces es más fácil considerar un problema de una forma u otra. Solo mantén un ojo en tus signos negativos.

4. Combine la suma de filas y la multiplicación escalar en un solo paso. No puede esperar que los términos coincidan siempre, por lo que puede usar una simple suma o resta para crear ceros en su matriz. Más a menudo tendrás que sumar (o restar) un múltiplo de otra fila. Para hacer esto, primero haga la multiplicación escalar, luego agregue ese resultado a la fila de destino que está tratando de cambiar.

Pareja; que hay una fila 1 de [1,1,2,6] y una fila 2 de [2,3,1,1]. Quiere un término 0 en la primera columna de R2. Es decir, quieres cambiar el 2 por un 0. Para hacer esto necesitas restar un 2. Puede obtener un 2 multiplicando primero la fila 1 por la multiplicación escalar 2, luego restando la primera fila de la segunda fila. En forma abreviada esto se puede escribir como R2-2*R1. Primero multiplica R1 por 2 para obtener [2,2,4,12]. Luego reste esto de R2 para obtener [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Simplifique esto y su nuevo R2 se convierte en [0,1,-3,-11].

5. Copie las filas que permanecen sin cambios mientras trabaja. A medida que trabaje en la matriz, cambiará una sola fila a la vez, ya sea mediante multiplicación escalar, suma de filas o resta de filas, o mediante una combinación de pasos. Cuando cambie una fila, asegúrese de copiar las otras filas de su matriz en su forma original.

Se produce un error común al realizar un paso combinado de multiplicación y suma en un solo movimiento. Por ejemplo, suponga que necesita restar R1 de R2 dos veces. Cuando multipliques R1 por 2 para hacer este paso, recuerda que R1 no cambia en la matriz. Solo haces la multiplicación para cambiar R2. Copie R1 en su forma original primero, luego haga el cambio a R2.

6. Trabaja de arriba hacia abajo primero. Para resolver el sistema, trabaja en un patrón muy organizado, esencialmente "resolviendo" un término de la matriz a la vez. El orden de una matriz de tres variables se verá así:

1. Hacer un 1 en la primera fila, primera columna (R1C1).

2. Hacer un 0 en la segunda fila, primera columna (R2C1).

3. Hacer un 1 en la segunda fila, segunda columna (R2C2).

4. Hacer un 0 en la tercera fila, primera columna (R3C1).

5. Hacer un 0 en la tercera fila, segunda columna (R3C2).

6. Hacer un 1 en la tercera fila, tercera columna (R3C3).

7. Trabaje de abajo hacia arriba. En este punto, si ha realizado los pasos correctamente, está a la mitad de la solución. Debes tener la línea diagonal de 1`s, con 0`s debajo. Los números en la cuarta columna no importan en este punto. Ahora vuelve a trabajar de la siguiente manera:

Cree un 0 en la segunda fila, tercera columna (R2C3).

Cree un 0 en la primera fila, tercera columna (R1C3).

Cree un 0 en la primera fila, segunda columna (R1C2).

8. Compruebe si ha creado la matriz de solución. Si su trabajo es correcto, ha creado la matriz de solución con 1 en una línea diagonal de R1C1, R2C2, R3C3 y 0 en las otras posiciones de las primeras tres columnas. Los números en la cuarta columna son las soluciones para su sistema lineal.

Parte 3 de 4: Juntando los pasos para resolver el sistema

1. Comience con un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales. Para practicar estos pasos, comencemos con el sistema que usamos anteriormente: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 y x+y+z=7. Si escribes esto en una matriz, tienes R1= [3.1,-1,9], R2=[2,-2,1,-3] y R3=[1,1,1,7].

2. Crea un 1 en la primera posición R1C1. Tenga en cuenta que R1 actualmente comienza con un 3. Tienes que cambiarlo a 1. Puede hacer esto mediante la multiplicación escalar, multiplicando los cuatro términos de R1 por 1/3. En forma abreviada, puede escribir como R1*1/3. Esto da un nuevo resultado para R1 si R1=[1,1/3,-1/3,3]. Adopte R2 y R2, sin cambios, si R2=[2,-2,1,-3] y R3=[1,1,1,7].

Tenga en cuenta que la multiplicación y la división son solo funciones inversas entre sí. Podemos decir que multiplicamos por 1/3 o dividimos por 3, sin cambiar el resultado.

3. Cree un 0 en la segunda fila, primera columna (R2C1). En este punto R2=[2,-2,1,-3]. Para acercarse a la matriz de solución, debe cambiar el primer término de 2 a 0. Puede hacer esto restando el doble del valor de R1, ya que R1 comienza con un 1. En resumen, la operación es R2-2*R1. Recuerda que no cambias R1, solo trabajas con él. Así que primero copie R1 si R1=[1,1/3,-1/3,3]. Si luego duplica cada término de R1, obtiene 2*R1=[2,2/3,-2/3,6]. Finalmente, reste este resultado del R2 original para obtener su nuevo R2. Trabajando término por término, esta resta se convierte en (2-2), (-2-2/3), (1-(-2/3), (-3-6). Simplificamos esto al nuevo R2=[0,-8/3,5/3,-9]. Tenga en cuenta que el primer término es 0 (cualquiera que sea su objetivo).

Escriba la fila 3 (que no ha cambiado) si R3=[1,1,1,7].

Tenga cuidado al restar números negativos para asegurarse de que los caracteres permanezcan correctos.

Ahora primero pongamos las fracciones en su forma impropia. Esto facilita los pasos posteriores de la solución. Puedes simplificar las fracciones en el último paso del problema.

4. Cree un 1 en la segunda fila, segunda columna (R2C2). Para seguir formando la línea diagonal de 1, necesitas convertir el segundo término -8/3 en 1. Haz esto multiplicando toda la fila por el recíproco de ese número (-3/8). Simbólicamente, este paso es R2*(-3/8). La segunda fila resultante es R2=[0.1,-5/8.27/8].

Tenga en cuenta que, si la mitad izquierda de la secuencia comienza a parecerse a la solución con el 0 y el 1, la mitad derecha puede verse fea, con fracciones impropias. Solo déjalos por lo que son ahora.

Recuerde continuar copiando las filas no afectadas, por lo que R1=[1,1/3,-1/3,3] y R3=[1,1,1,7].

5. Cree un 0 en la tercera fila, primera columna (R3C1). Su enfoque ahora se mueve a la tercera fila, R3=[1,1,1,7]. Para hacer un 0 en la primera posición, debe restar un 1 del 1 que se encuentra actualmente en esa posición. Si miras hacia arriba, hay un 1 en la primera posición de R1. Entonces solo necesita restar R1 de R3 para obtener el resultado que necesita. Trabajando término por término esto se convierte en (1-1), (1-1/3), (1-(-1/3)), (7-3). Estos cuatro miniproblemas se pueden simplificar al nuevo R3=[0.2/3.4/3.4].

Continúe copiando a lo largo de R1=[1.1/3,-1/3.3] y R2=[0.1,-5/8.27/8]. Recuerda que solo cambias una fila a la vez.

6. Hacer un 0 en la tercera fila, segunda columna (R3C2). Este valor es actualmente 2/3, pero debe convertirse a 0. A primera vista, parece que puede hacer una doble resta de los valores de R1, ya que la columna correspondiente de R1 contiene un 1/3. Sin embargo, si duplica y resta todos los valores de R1, el 0 en la primera columna de R3 cambia, lo cual no desea. Esto sería un paso atrás en su solución. Así que tienes que trabajar con alguna combinación de R2. Si resta 2/3 de R2, crea un 0 en la segunda columna, sin cambiar la primera columna. En forma abreviada esto es R3- 2/3*R2. Los términos individuales se convierten en (0-0), (2/3-2/3), (4/3-(-5/3*2/3)), (4-27/8*2/3). La simplificación da R3=[0,0,42/24.42/24].

7. Cree un 1 en la tercera fila, tercera columna (R3C3). Esta es una simple multiplicación con el recíproco del número que dice. El valor actual es 42/24, por lo que puede multiplicar por 24/42 para obtener el valor deseado de 1. Tenga en cuenta que los dos primeros términos son ambos 0, por lo que cualquier multiplicación sigue siendo 0. El nuevo valor de R3=[0,0,1,1].

Tenga en cuenta que las fracciones que parecían bastante complicadas en el paso anterior ya están comenzando a resolverse.

Continuar con R1=[1.1/3,-1/3.3] y R2=[0.1,-5/8.27/8].

Tenga en cuenta que en este punto tiene la diagonal de 1 para su matriz de solución. Solo necesita convertir tres elementos de la matriz en 0 para encontrar su solución.

8. Crea un 0 en la segunda fila, tercera columna. R2 es actualmente [0.1,-5/8.27/8], con un valor de -5/8 en la tercera columna. Tienes que transformarlo a 0. Esto quiere decir que hay que realizar alguna operación con R3 que consiste en sumar 5/8. Dado que la tercera columna correspondiente de R3 es un 1, debe multiplicar todos los valores de R3 por 5/8 y agregar el resultado a R2. En resumen, esto es R2+5/8*R3. Término por término esto es R2=(0+0), (1+0), (-5/8+5/8), (27/8+5/8). Esto se puede simplificar a R2=[0,1,0,4].

Luego toma R1=[1,1/3,-1/3,3] y R3=[0,0,1,1].

9. Cree un 0 en la primera fila, tercera columna (R1C3). La primera fila es actualmente R1=[1.1/3,-1/3.3]. Tienes que convertir el -1/3 en la tercera columna a un 0, usando alguna combinación de R3. No desea usar R2, porque el 1 en la segunda columna de R2 modificaría el R1 de manera incorrecta. Así que multiplicas R3*1/3 y sumas el resultado a R1. La notación para esto es R1+1/3*R3. Trabajando término por término da como resultado R1=(1+0), (1/3+0), (-1/3+1/3), (3+1/3). Puede simplificar esto a un nuevo R1=[1,1/3,0,10/3].

Tome el R2 = [0,1,0,4] y R3 = [0,0,1,1] sin cambios.

10. Hacer un 0 en la primera fila, segunda columna (R1C2). Si todo se hace bien, este debería ser el último paso. Necesitas convertir el 1/3 en la segunda columna a un 0. Puedes obtener esto multiplicando y restando R2*1/3. En resumen, esto es R1-1/3*R2. El resultado es R1=(1-0), (1/3-1/3), (0-0), (10/3-4/3). Simplificando entonces da R1=[1,0,0,2].

11. Buscar la matriz de solución. En este punto, si todo salió bien, tendría las tres filas R1=[1,0,0,2], R2=[0,1,0,4] y R3=[0,0,1,1] Tienes que tener. Tenga en cuenta que si escribe esto en forma de matriz de bloques con las filas una encima de la otra, tiene 1 en diagonal con 0 más adelante, y sus soluciones están en la cuarta columna. La matriz de solución debería verse así:

1002

0104

0011

12. Entendiendo tu solución. Una vez que haya convertido las ecuaciones lineales en una matriz, coloque los coeficientes x en la primera columna, los coeficientes y en la segunda columna, los coeficientes z en la tercera columna. Si ahora desea reescribir la matriz en ecuaciones, estas tres líneas de la matriz en realidad significan las tres ecuaciones 1x+0y+0z=2, 0x+1y+0z=4 y 0x+0y+1z=1. Como podemos tachar los 0 términos y no tener que escribir los 1 coeficientes, estas tres ecuaciones se simplifican a la solución, x=2, y=4 y z=1. Esta es la solución a tu sistema de ecuaciones lineales.

Parte 4 de 4: Comprobación de su solución

1. Procesar las soluciones en cada variable en cada ecuación. Siempre es una buena idea verificar si su solución es realmente correcta. Haces esto probando tus resultados en las ecuaciones originales.

Las ecuaciones originales para este problema eran: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 y x+y+z=7. Cuando reemplaza las variables con los valores que encontró, obtiene 3*2+4-1=9, 2*2-2*4+1=-3 y 2+4+1=7.

2. Simplifica cualquier ecuación. Realice las operaciones en cada ecuación de acuerdo con las reglas básicas de operaciones. La primera ecuación se simplifica a 6+4-1=9, o 9=9. La segunda ecuación se puede simplificar a 4-8+1=-3, o -3=-3. La última ecuación es simplemente 7=7.

Dado que cada ecuación se simplifica a una declaración matemática verdadera, sus soluciones son correctas. Si alguna de las soluciones no es correcta, vuelva a revisar su trabajo y busque errores. Algunos errores comunes ocurren al deshacerse de los signos menos en el camino o al confundir la multiplicación y la suma de fracciones.

3. Escriba sus soluciones finales. Para este problema dado, la solución final es x=2, y=4 y z=1.

Consejos

Si su sistema de ecuaciones es muy complejo, con muchas variables, puede usar una calculadora gráfica en lugar de hacer el trabajo a mano. Para información sobre esto también puedes consultar wikiHow.